设a,b,c是正实数,且abc=1,求证 (a+1/b-1)(b+1/c-1)(c+1/a-1)≤1

设a,b,c是正实数,且abc=1,求证 (a+1/b-1)(b+1/c-1)(c+1/a-1)≤1详细哈。。

证 设a=x/y,b=y/z,c=z/x,对所证不等式作置换得:
(xy+zx-yz)*(zx+yz-xy)*(yz+xy-zx)≤(xyz)^2 (2)
再令k=yz,m=zx,n=xy,对(2)式作置换得:
(m+n-k)(n+k-m)*(k+m-n)≤kmn (3)
(3)式为己知不等式.

再给出一种证法,供参考.
(a+1/b-1)，(b+1/c-1)，(c+1/a-1)三者中至少有一个小于0.若不然，不妨设:
a+1/b-1<0，b+1/c-1<0.
a+1/b-1=a-abc+ac=a(1-bc+c)<0，因为a>0
即 1-bc+c<0 (1)
b+1/c-1=(bc+1-c)/c，因为c>0
即bc-c+1<0 (2)
(1)+(2)得:2<0,显然矛盾。
若(a+1/b-1)，(b+1/c-1)，(c+1/a-1)三者中有一个小于0.则显然成立。
若(a+1/b-1)，(b+1/c-1)，(c+1/a-1)三者均大于0，则作如下证明.
(a+1/b-1)*(b+1/c-1)*(c+1/a-1)
=(a+ac-abc)*(b+ab-abc)*(c+bc-abc)
=abc*(1+c-bc)*(1+a-ca)*(1+b-ab)
=(1+c-bc)*(1+a-ca)*(1+b-ab) (3)
(a+1/b-1)*(b+1/c-1)*(c+1/a-1)
=(ab+1-b)*(bc+1-c))*(ca+1-a)/(abc)
=(ab+1-b)*(bc+1-c)*(ca+1-a) (4)
(3)*(4)得:
[(a+1/b-1)*(b+1/c-1)*(c+1/a-1)]^2
=(1+c-bc)*(1+a-ca)*(1+b-ab)*(ab+1-b)*(bc+1-c))*(ca+1-a)
≤[(1+c-bc+1+a-ca+1+b-ab+ab+1-b+bc+1-c+ca+1-a)/6]^6=1。
故得:(a+1/b-1)*(b+1/c-1)*(c+1/a-1)≤1