有关两道高等数学的证明题以上为两道证明题

有关两道高等数学的证明题以上为两道证明题

1.(1)证明:构造函数g(x)=f(x+1/2)-f(x)则g(0)=f(1/2)-f(0)g(1/2)=f(1)-f(1/2)∵f(0)=f(1)∴g(0)=-g(1/2)(a) 若g(0)=g(1/2)=0,则f(1/2)=f(0)=f(1)x=0或1/2时,f(x)=f(x+1/2)(b)若g(0)≠0,g(1/2)≠0,则g(0)和g(1/2)异号∵f(x)在[0,1]上连续∴g(x)在[0,1/2]上连续∴由介值定理知,存在x∈(0,1/2)包含于(0,1),使g(x)=0即f(x)=f(x+1/2)综上可知,存在x∈[0,1],使即f(x)=f(x+1/2) (2)证明：构造函数g(x)=f(x+1/n)-f(x)则g(x)在[0,1-1/n]上连续g(0)+g(1/n)+g(2/n)+...+g(1-1/n)=[f(1/n)-f(0)]+[f(2/n)-f(1/n)]+...+[f(1)-f(1-1/n)]=f(1)-f(0)=0(a)若g(0),...,g(1-1/n)均为0,那么令x=0,1/n,...1-1/n满足f(x)=f(x+1/n)(b)若存在g(a)≠0,不妨设g(a)>0则至少存在一个g(b)0则至少存在一个g(b)

我学会了