单位根的一些性质

单位根的一些性质

两个n次单位根εj与εk 的乘积还是一个n次单位根，且εjεk =εj+k　推论1：εj =ε-j
推论2：
εk=εmk
推论3：
若k除以n的余数为r，则εk=εr
注：它说明εk等价于r=0
推论4：
任何一个单位根都可以写成ε1的幂，即εk=ε1
说明：除了ε1，还有没有另一个单位根εk使任何一个单位根都是εk的幂，回答是肯定的，并称这样的根为n次本原根，n次原根。从而所有n次单位根还可以写作
ε1，ε1，…，ε1（ε0=1）
推论5：
一个n次单位根的共轭也是一个n次单位根，即εk=εn-k（‘表示共轭）
因为εkεk=|εk|，εk=1/εk=ε-k=εn-k （由推论3）
注：由上证明看到1/εk=εk，说明所有虚的n次单位根都成对共轭
推论6：
对任意整数k,h，有εk=εh A=1^m+ε1^m+ε2^m+…+εn-1^m当n|m时，A=n，否则A=0
证明：由性质二推论4有
A=1+ε1+（ε1）+…+（ε1）
=1+ε1+（ε1）+…+（ε1）
=[1-（ε1）]/（1-ε1）=[1-（ε1）]/ （1-ε1）=（1-1）/ （1 -ε1）=0
推论1：∑（i从0到n-1） εi=0
推论2：设εk≠1，则∑（i从0到n-1） εk=0
证明：由εk≠1，故n不整除k，由性质二推论4和性质三，
∑（i从0到n-1） εk=∑（i从0到n-1） εi=0 全部单位根将复平面上单位圆n等分