九年级一道压轴题

九年级一道压轴题

(1）无法传图
（2）解：过点A做AE垂直BC交CB的延长线于E
所以角AEC=90度
所以三角形AEB和三角形AEC是直角三角形
所以AB^2=AE^2+CE^2
sin角ABE=AE/AB
AC^2=AE^2+CE^2
因为角ABC+角ABE=180度（平角等于180度）
角ABC=120度
所以角ABE=60度
因为AB=4
所以AE=2倍根号3
BE=2
因为CE=BC+BE=2+BC
所以AC^2=(2+BC)^2+12
因为四边形ABCD是等对角线四边形
所以AC=BD
因为角BCD=90度
所以三角形BCD是直角三角形
所以BD^2=BC^2+CD^2
因为CD=6
所以（2+BC)^2+12=BC^2+36
4BC=20
BC=5
(3) 1）证明：取BC的中点G，连接EG ,FG
因为E ,F分别是AB ,CD的中点
所以EG ,FG分别是三角形ABC和三角形BCD的中位线
所以EG=1/2AC
EG平行AC
FG=1/2BD
FG平行BD
所以角GEF=角ONM
角GFE=角OMN
因为三角形OMN是等边三角形
所以角OMN=角ONM=60度
所以角GEF=角GFE=60度
因为角GEF+角GFE+角EGF=180度
所以角GEF=角GFE=角EGF=60度
所以EF=EG=FG
EF=EG=1/2AC
所以AC=BD
AC=2EF
所以四边形ABCD是等对角线四边形
2）AD+BC>AC
证明; 取BD的中点P，连接PE ,PF
因为E ,F分别是AB ,CD的中点
所以PE ,PF分别是三角形ABD和三角形BCD的中位线
所以PE=1/2AD
PF=1/2BC
因为PE+PF>EF
EF=1/2AC（已证）
所以1/2(AD+BC)>1/2AC
所以AD+BC>AC