向量方法证明三点共线

已知三角形ABC，在AC上取点N，使AN=1/3AC，在AB上取点M，使AM=1/3AB，在BN的延长线上取点P，使NP=1/2BN，在CM的延长线上取点Q，使MQ=1/2CM，用向量的方法证明：P、A、Q三点共线。

比如已经有三个点A,B,C和它们的坐标,就可以就出向量AB=(a,b),BC=(c,d)如果有AB=kBC,k为任意非零实数,则可知A,B,C三点共线其实也就是证明了线段AB和BC平行,又有公共点,肯定三点共线。
　　几何向量的概念在线性代数中经由抽象化，得到更一般的向量概念。此处向量定义为向量空间的元素，要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示，大小和方向的概念亦不一定适用。因此，平日阅读时需按照语境来区分文中所说的"向量"是哪一种概念。不过，依然可以找出一个向量空间的基来设置坐标系，也可以透过选取恰当的定义，在向量空间上介定范数和内积，这允许我们把抽象意义上的向量类比为具体的几何向量。

设AB=a,AC=b,则 CM=a/3-b QM=-1/2*CM=-a/6+b/2 MA=-a/3 QA=QM+MA=-a/2+b/2 同理 BN=BC+CN=AC-AB-2b/3=b/3-a NP=1/2BN=b/6-a/2 AN=AC/3=b/3 AP=AN+NP=b/3+b/6-a/2=b/2-a/2 所以QA=AP 所以P,A,Q三点共线

∵a,tb,1/3(a+b)三向量的终点在一直线上 ∴向量a-1/3(a+b),向量tb-1/3(a+b)两向量共线 又a-1/3(a+b)=2/3a-1/3b;tb-1/3(a+b)=-1/3a+(t-1/3)b ∴(-1/3)/(2/3)=(t-1/3)/(-1/3) ∴t-1/3=(1/9)/(2/3)===>t-1/3=1/6 ∴t=1/6+1/3=1/2时,三向量终点共线