∫(0,π)xsinx/(2+cosx)dx的定积分

∫(0,π)xsinx/(2+cosx)dx的定积分

考虑∫(0，π) ln(2 + cosx) dx
= xln(2 + cosx) - ∫(0，π) x * (- sinx)/(2 + cosx) dx <== 分部积分法
= [πln(2 - 1) - 0] + ∫(0，π) xsinx/(2 + cosx) dx
= ∫(0，π) xsinx/(2 + cosx) dx
考虑f(t) = ∫(0，π) ln(2 + tcosx) dx ... ①
f'(t) = ∫(0，π) cosx/(2 + tcosx) dx
= ∫(0，π) [1 - tan²(x/2)]/[1 + tan²(x/2)]/[2 + t * (1 - tan²(x/2))/(1 + tan²(x/2))] dx
= ∫(0，π) [1 - tan²(x/2)]/[1 + tan²(x/2)] * [1 + tan²(x/2)]/[2 + 2tan²(x/2) + t - ttan²(x/2)] dx
= ∫(0，π) [1 - tan²(x/2)]/[(2 + t) + (2 - t)tan²(x/2)] dx
令u = tan(x/2)，三角函数化为有理函数的代换法
= 2∫(0，∞) (1 - u²)/{[(2 + t) + (2 - t)u²](1 + u²)} du
= (2/t)∫(0，∞) du/(1 + u²) - (4/t)∫(0，∞) 1/[(2 + t) + (2 - t)u²] du
= (2/t)[arctan(u)] |(0，∞) - (4/t)[1/(2 + t)]∫(0，∞) 1/[1 + (2 - t)/(2 + t) * u²] du
= (2/t)(π/2 - 0) - 4/[t(2 + t)][√(2 + t)/√(2 - t)]arctan√[(2 - t)/(2 + t) * u] |(0，∞)
= π/t - 4/[t√(4 - t²)](π/2 - 0)
= π/t - 2π/[t√(4 - t²)]
f(t) = πln| t | - 2π * (1/2)[ ln| t | - ln| 2 + √(4 - t²) | ] + C
= πln| t | - ln| t | + πln| 2 + √(4 - t²) | + C
= πln| 2 + √(4 - t²) | + C ... ②
在①：f(0) = ∫(0，π) ln(2 + 0) dx = πln2
在②：f(0) = πln4 + C
所以：πln2 = πln4 + C
==> C = π(ln2 - ln4) = πln(1/2) = - πln2
所以∫(0，π) xsinx/(2 + cosx) dx = f(1) = πln(1 + √3/2) ≈ 1.959759...