流形上的u（f）的是一个向量场还是一个函数场

流形上的u（f）的是一个向量场还是一个函数场

如图

这是同一件事儿不同看法。这两种定义实际上是等价的最直观的看法就是流形上每点对应一个切向量，切光滑依赖于点，这是一种定义。同时，也可以看做光滑函数上的微分算子：光滑函数到光滑函数的映射：假设X是切向量场，任给一点p,X(p)为p点的一个切向量，假设f是流形上的光滑函数，切向量场作用到光滑函数X(f)仍是光滑函数，这个函数在p点的值定义为： (X(f))(p)=(X(p))(f) 其中X(p)为p点的切向量，当然可以作用到光滑函数上，得到一个数~ 事实上这样说不是非常严谨，因为被切向量作用的函数是p点局部光滑的函数，而切向量场是整体的光滑函数，但实际上由于函数可以延拓（用截断函数），所以这个问题可以解决。详细的证明过程可以参看《微分流形初步》，作者陈维桓，第三章第二节光滑切向量场，说的很清楚。上边的那个式子，表面上看只是一个简单的交换顺序，其实有很深刻的内涵：如果把切向量场看成点到切向量的映射，没什么特别的，但如果看成光滑函数之间的映射，就可以进行复合！X复合Y之后还是切向量场么？答案是否定的，但是X复合Y-Y复合X仍然是切向量场，这就是所谓的poisson括号或者是李括号，因此在光滑切向量的集合上可以定义一个 “乘法”，也就是复合运算，它满足反交换律，使得全体光滑切向量场的集合成为一个李代数。也可以参考李群的内容。总之这个看法非常非常重要！！！！！！！！！！