F是一个数域,A是F上的n阶方阵,集合W={B∈Fn*n|AB=0}

F是一个数域,A是F上的n阶方阵,集合W={B∈Fn*n|AB=0}

（1）显然n阶0方阵∈W，所以W是 Fn*n的非空子集
对任意B1，B2∈W及k∈F，
由于AB1=0 ，AB2=0
则有A(B1+B2)=0， 即B1+B2∈W
A(kB1)=0， 即kB1∈W
所以W是Fn*n的子空间
（2）W的维数为（n-R ）*n 。 证明如下：
设B的n个列向量为βj（j=1,2，...，n）
AB=0 等价于 Aβj=0 （j=1,2，...，n）
A的秩为R，所以每个βj都有n-R个基础解向量
从而W的维数=（n-R）*R

1、任取C D属于W，则AC=0，AD=0，于是A（C+D)=0，A(kC)=k(AC)=0，因此C+D和kC属于W，于是W是子空间。
2、先看A=【E 0
0 0】，其中E是R阶单位阵，
记B=【C D
E F】，由0=AB=【C D
0 0】知C=0，D=0，即B的前R行必须为0，后面n--R行元素任意，因此W的维数是n(n--R)。一般情况下，只需对A做初等变换化为最简标准型就知道以上结论成立。