求证：111^111+112^2+113^3的和能被10整除。

求证：111^111+112^2+113^3的和能被10整除。

因为111=110+1，所以111^111=(110+1)^111按二项式展开后，只有最后一项1^111=1不能被10整除，考虑将其它项都丢掉。
类似的112=110+2，112^112按二项式展开后，只有2^112不能被10整除
类似的113=110+3，113^113按二项式展开后，只有3^113不能被10整除
所以，只要证明了1+2^112+3^113能被10整除即可

考虑到3^2=9，所以3^113=3*3^112=3*9^56=3*(10-1)^56类似的按二项式展开，只剩下最后一项3*(-1)^56不能被10整除，即3
由此，我们只要证明1+2^112+3能被10整除即可

观察到2^1=2, 2^2=4, 2^3=8, 2^4=16, 2^5=32, ...
即2^n个位上按2、4、8、6、2、4、8、6、...的规律变换，以4为一个周期，而112=4*28，所以112刚好是28个周期，所以2^112的个位上必然为6，所以
2^112+1+3个位上一定是0，即能够被10整除，得证！

自己去理解下过程.......