设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0).
(I)求f?(x)的最小值h(t);
(II)若h(t)<-2t+m对t∈(0,2)恒成立,求实数m的取值范围.
设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0).(I)求f?(x)的最小值h(t);(II)若h(t)<-2t+m对t∈(0,2)恒成立,求实数m的取值范
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解决时间 2021-04-15 02:54
- 提问者网友:世勋超人
- 2021-04-14 11:42
最佳答案
- 五星知识达人网友:纵马山川剑自提
- 2021-04-14 11:48
解:(I)∵f(x)=t(x+t)2-t3+t-1(x∈R,t>0),
∴当x=-t时,f(x)取最小值f(-t)=-t2+t-1,
即h(t)=-t3+t-1;
(II)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,
由g′(t)=-3t2+3=0得t=1,t=-1(不合题意,舍去)
当t变化时g′(t)、g(t)的变化情况如下表:?t?(0,1)1?(1,2)?g′(t)+?0-?g(t)?递增?极大值1-m递减?∴g(t)在(0,2)内有最大值g(1)=1-m
h(t)<-2t+m在(0,2)内恒成立等价于g(t)<0在(0,2)内恒成立,
即等价于1-m<0
所以m的取值范围为m>1.解析分析:(I)由f(x)=t(x+t)2-t3+t-1(x∈R,t>0),根据配方法即可求出最小值;
(II)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,对其求导后讨论即可得出
∴当x=-t时,f(x)取最小值f(-t)=-t2+t-1,
即h(t)=-t3+t-1;
(II)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,
由g′(t)=-3t2+3=0得t=1,t=-1(不合题意,舍去)
当t变化时g′(t)、g(t)的变化情况如下表:?t?(0,1)1?(1,2)?g′(t)+?0-?g(t)?递增?极大值1-m递减?∴g(t)在(0,2)内有最大值g(1)=1-m
h(t)<-2t+m在(0,2)内恒成立等价于g(t)<0在(0,2)内恒成立,
即等价于1-m<0
所以m的取值范围为m>1.解析分析:(I)由f(x)=t(x+t)2-t3+t-1(x∈R,t>0),根据配方法即可求出最小值;
(II)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,对其求导后讨论即可得出
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- 1楼网友:鱼芗
- 2021-04-14 12:52
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