=1/3(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)怎么证明
答案:2 悬赏:10 手机版
解决时间 2021-02-14 09:07
- 提问者网友：情歌越听越心酸
- 2021-02-13 11:20
=1/3(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)怎么证明
最佳答案
- 五星知识达人网友：轻雾山林
- 2021-02-13 11:47
方法一:设a>=b>=c.然后用Chebyshev不等式.方法二:欲证原式,即需证3(a^3+b^3+c^3)>=(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)即3(a^3+b^3+c^3)>=a^3+b^3+c^3+(b+c)a^2+(a+c)b^2+(a+b)c^2即2(a^3+b^3+c^3)>=(b+c)a^2+(a+c)b^2+(a+b)c^2 ..(*) .(这里也可以用排序原理证明)现在先构造一个不等式很显然(a+b)(a-b)^2>=0恒成立即a^3-ab^2-ba^2+b^3>=0即a^3+b^3>=ab^2+ba^2 .(1)同理(a+c)(a-c)^2>=0(c+b)(c-b)^2>=0即a^3+c^3>=ac^2+ca^2 .(2)c^3+b^3>=cb^2+bc^2 .(3)(1)+(2)+(3)得知(*)成立即原不等式成立======以下答案可供参考======供参考答案1:a^3+b^3+c^3-3abc =[( a+b)^3-3a^2b-3ab^2]+c^3-3abc =[(a+b)^3+c^3]-(3a^2b+3ab^2+3abc) =(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2]-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a^2+b^2+2ab-ac-bc+c^2)-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc) 二个公式： a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) (a+b)^3=a^3+b^3+3a^2b+3ab^2
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- 1楼网友：鸠书
- 2021-02-13 12:53
对的，就是这个意思
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