已知定义在R上的函数f（x）满足下面两个条件：①对于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）②当x＞0

已知定义在R上的函数f（x）满足下面两个条件：①对于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）②当x＞0时，f（x）＜0（1）判断f（x）的奇偶性，并证明；（2）判断f（x）的单调性，并证明；（3）如果不等式f(m?4sinx)+f(74?cos2x)≤0对于任意x∈R都成立，求实数m的取值范围．

（1）取x=y=0，可得f（0）=0，
再取y=-x，可得f（x）+f（-x）=f（0）=0，
所以f（-x）=-f（x），f（x）是奇函数                   …（5分）
（2）任取x1＜x2，则 f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1）＜0，
可得 f（x1）＞f（x2），所以f（x） 在R上是减函数                              …（10分）
（3）∵f(m?4sinx)+f(
7
4 ?cos2x)≤0，且f（x）是奇函数
∴f(m?4sinx)≤?f(
7
4 ?cos2x)＝f(cos2x?
7
4 )
∵f（x） 在R上是减函数
∴m?4sinx≥cos2x?
7
4 ，即m≥cos2x+4sinx?
7
4
∴m≥(cos2x+4sinx?
7
4 )max
∴下面即求函数cos2x+4sinx?
7
4 的最大值
由于cos2x+4sinx?
7
4 =?(sinx?2)2+
13
4 ，sinx∈[-1，1]
∴当且仅当sinx=1时，(cos2x+4sinx?
7
4 )max=
9
4
所以m≥
9
4 …（16分）

问题补充： 已知定义域为r的函数fx满足①对于任意的x∈r，f（-x）+f（x）=0 ②当x＞0是f（x)=x²-3 ⑴求函数f（x）的解析表达式 ⑵画出函数f（x)的图像 ⑶解方程f（x）=2x 解：1、因为 f（-x）+f（x）=0 所以 f（-x）=-f（x） 故f（x）为奇函数 当x＞0是f（x)=x²-3 则当x<0时，f（-x)=（-x）²-3 f（x）=-f（-x）=- x²+3 当x=0时，f(x)=0 所以f(x)解析式为：f(x)=x²-3 （x>0) f(x)=0 (x=0) f(x)=-x²+3 (x<0) 2、图像就是：x>0时，画f(x)=x²-3的图像 饥畅观堆攥瞪硅缺亥画 x<0时，画f(x)=-x²+3的图像 （找几个特殊点即可） 3、x>0时，f(x)=2x 得 x²-3=2x ；x=3。 x=0时，f(x)=2x得：x=0 x<0时，f(x)=2x得：-x²+3=2x；x=-3 所以方程1解为：x=±3或x=0