设数列{an}的前n项和为Sn，对一切n∈N*，点（n，Sn）在函数f（x）=x2+x的图象上．（1）求an的表达式；（2

设数列{an}的前n项和为Sn，对一切n∈N*，点（n，Sn）在函数f（x）=x2+x的图象上．（1）求an的表达式；（2）设An为数列{1(an?1)(an+1)}的前n项和，是否存在实数a，使得不等式An＜a对一切n∈N*都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由；（3）将数列{an}依次按1项，2项循环地分为（a1），（a2，a3），（a4），（a5，a6），（a7），（a8，a9），（a10），…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{bn}，求b100的值；（4）如果将数列{an}依次按1项，2项，3项，4项循环；分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{bn}，提出同（3）类似的问题（（3）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？

（1）∵点（n，Sn）在函数f（x）=x2+x的图象上，
∴Sn=n2+n．
a1=S1=2，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n（n=1时也成立）．
∴an=2n（n∈N*）．
（2）An＝
1
(a1?1)(a1+1) +
1
(a2?1)(a2+1) +…+
1
(an?1)(an+1)
=
1
1?3 +
1
3?5 +…+
1
(2n?1)(2n+1) =
1
2 (1?
1
3 +
1
3 ?
1
5 +…+
1
2n?1 ?
1
2n+1 )＝
1
2 (1?
1
2n+1 )＜
1
2 ．
依题意，只要a≥
1
2 即可，故a的取值范围是[
1
2 ，+∞)．
（3）数列{an}依次按1项，2项循环地分为（2），（4，6），（8），（10，12）；（14），（16，18）；（20），…，每一次循环记为一组．由于每一个循环含有2个括号，故b100是第50组中第2个括号内各数之和．
由分组规律知，b2，b4，b6，…，b100，…组成一个首项b2=4+6=10，公差d=12
的等差数列． 
所以b100=10+（50-1）×12=598．
（4）当n是4的整数倍时，求bn的值．
数列{an}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12）；（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…
第4组，第8组，…，第4k（k∈N*）组的第1个数，第2个 数，…，第4个数分别组成一个等差数列，
其首项分别为14，16，18，20．公差均为20． 
则第4组，第8组，…，第4k组的各数之和也组成一个等差数列，
其公差为80．  
且b4=14+16+18+20=68．
当n=4k时，bn=68+80（k-1）=20n-12．

将点（n,sn/n）代入函数f(x)=x+an/2x，得 sn=n^2+an/2 s(n+1)=(n+1)^2+a(n+1)/2 两式相减得 2n+1=(an+a(n+1))/2 则2n+3=(a(n+1)+a(n+2))/2 两式相减得 a(n+2)-an=4 又s1=a1=1+a1/2,--->a1=2 又s2=a1+a2=2+a2=2^2+a2/2,--->a2=4 所以n为奇数时，an=a1+(n-1)*4/2=2n n为偶数时，an=a2+(n-2)/2*4=2n 综上所述得an=2n