若a≠0,比较(1+a^2+a^4)/(a+a^3)与3/2的大小
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解决时间 2021-11-15 10:47
- 提问者网友：未信
- 2021-11-15 00:36
若a≠0,比较(1+a^2+a^4)/(a+a^3)与3/2的大小
最佳答案
- 五星知识达人网友：夜余生
- 2021-11-15 01:04
[[[1]]]
当a＜0时,易知恒有
(a^4)+a²+1＞0且a³+a=a(a²+1)＜0
∴当a＜0时,恒有
[(a^4)+a²+1]/(a³+a)＜0＜3/2.
[[[2]]]
当a＞0时,(a^4)+a²+1=(a²+1)²-a²
且a³+a=a(a²+1)
∴此时[(a^4)+a²+1]/[a³+a]
=[(a²+a)²-a²]/[a(a²+1)]
=[(a²+1)/a]-[a/(a²+1)]
由基本不等式可得:
(a²+1)/a≥2, 且a/(a²+a)≤1/2
∴[(a²+1)/a]-[a/(a²+1)]≥3/2
等号仅当a=1时取得.
∴当a＞0时,恒有
[(a^4)+a²+1]/(a³+a)≥3/2
当a＜0时,易知恒有
(a^4)+a²+1＞0且a³+a=a(a²+1)＜0
∴当a＜0时,恒有
[(a^4)+a²+1]/(a³+a)＜0＜3/2.
[[[2]]]
当a＞0时,(a^4)+a²+1=(a²+1)²-a²
且a³+a=a(a²+1)
∴此时[(a^4)+a²+1]/[a³+a]
=[(a²+a)²-a²]/[a(a²+1)]
=[(a²+1)/a]-[a/(a²+1)]
由基本不等式可得:
(a²+1)/a≥2, 且a/(a²+a)≤1/2
∴[(a²+1)/a]-[a/(a²+1)]≥3/2
等号仅当a=1时取得.
∴当a＞0时,恒有
[(a^4)+a²+1]/(a³+a)≥3/2
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