高一数学真难啊

某商场以100元/件的价格购进一批羊毛衫，以高于进价的价格出售。销售有淡季与旺季之分，标价越高，购买人数越少，我们称刚好无人购买时的最低价为羊毛衫的最高价，市场调查发现：

1.购买人数是羊毛衫标价的一次函数

2.旺季的最高价是淡季最高价的3/2倍

3.旺季商场以140元/件的价格销售时，商场获得最大利润。

问：在淡季销售时，羊毛衫定价为多少时，商场有最大利润？

答对加分

设购买人数为x（x≥0），售价为y（y>100）

购买人数是羊毛衫标价的一次函数

可设：

旺季：y=k1x+b1,(k1,b1为常数，k1<0)

淡季：y=k2x+b2,(k2,b2为常数，k2<0)

旺季利润为：

f(y)=(y-100)x=(y-100)(y-b1)/k1=1/k1(y^2-(100+b)y+100b)

旺季商场以140元/件的价格销售时，商场获得最大利润

所以

140=(100+b)/2

b1=180

所以有：

y=k1x+180,(k<0)

旺季的最高价为x=0时取得，为：180

旺季的最高价是淡季最高价的3/2倍

所以

淡季最高价为120

同样也是x=0时，取得：

120=b2

故：

y=k2x+120

淡季获利：

f(y)=(y-100)x=(y-100)(y-120)/k2=1/k2(y^2-220y+12000)

当x=220/2=110时，获最大利润

所以

在淡季销售时，羊毛衫定价为110元时，商场有最大利润

解：设羊毛衫出售价格为x元/件，购买人数为y人，无效价格为x₀元，则存在a, b，

使y= ax+b，

由条件知：a<0且0= ax₀+b，

∴x₀=

∴y =a(x-x₀) = -a(x₀-x)

商场利润S=y•(x-100)= -a(x₀-x)(x-100)≤-a =-a

当且仅当x₀-x = x-100 即x=50+ 时，上式取“=”

∴商场定价x=50+ 时能获得最大利润

设旺、淡季的羊毛衫的无效价格分别为m,n

则140=50+ ，∴m=180

∴n= m=120 ∴淡季能获得最大利润的价格为：50+ =110