ak=√(n^2-k^2)/n^4的前n项和(当n趋向于无穷大时)的极限

ak=√(n^2-k^2)/n^4的前n项和(当n趋向于无穷大时)的极限

这题目说的应该是A(n)=[Σ<1,n>√(n^2-k^2)]/n^4->?
Σ<1,n>√(n^2-k^2)＜Σ<1,n>n=n^2
∴[Σ<1,n>√(n^2-k^2)]/n^2＜1
如果分母是n^3或n^4，答案简单是0。
如果分母是n^2，这个还要估计下限。
n^2-k^2=(n-k)^2+2k(n-k)＞(n-k)^2，∴[Σ<1,n>√(n^2-k^2)]/n^2＞[Σ<1,n-1>k]/n^2=1/2-1/(2n)
在Excel表上简单的算了一下，极限在0.78XXX，好像不是有理数啊
继续做，这题目实际上是a(n)=[Σ<1,n>√(n^2-k^2)]/n^2=[Σ<1,n>√(1-(k/n)^2)]/n当n->+∞时的极限。
这个的极限是∫<0,1>√(1-x^2)dx=π/4。
将区间[0,1]平均划分成n个小格，每格宽度1/n，这样间隔点为k/n。函数√(1-x^2)在间隔点的值为√(1-(k/n)^2)，在这样的划分下，函数√(1-x^2)近似和就是a(n)=[Σ<1,n>√(1-(k/n)^2)]/n，当n->+∞，a(n)->∫<0,1>√(1-x^2)dx=π/4