设函数f（x）=x³-3ax+b（a≠0），若曲线y=f（x）在点（2，f（x））处与直线y=8相切，求a，b的值

2009 北京卷文

f'(x)=3x^2-3a
若曲线y=f（x）在点（2，f（x））处与直线y=8相切,说明x=2是一个极值点
且极值为8
所以f（2）=8-6a+b=8
f'(2)=12-3a=0
得a=4，b=24

解: (1):曲线与直线相切在某点,说明曲线与直线在该点的斜率(即该点的导数)相等,且有相同的坐标值 即f'(2)=(x^3-3ax b)'=3*2^2-3a=0 (因直线y=8的导数y'=0) (1) 3*2^3-3*2a b=8 (2) 从(1)得a=4 代入(2)得b=24 (2):对函数对导得:f'(x)=3x^2-12=3(x 2)(x-2) 当f'(x)=0时,x=-2或x=2 则当x<-2或x>2时,f'(x)>0 ,这时原函数单调递增 当-2<=x<=2时, f'(x)<=0,这时原函数单调递减