等式 (1+x^2)^2=ax(1-x^2)+b(1-x^4), 其中 b≠-1, 也是 x^3+px^2+qx+r=0的根. 证明 p^2-q^2

等式 (1+x^2)^2=ax(1-x^2)+b(1-x^4), 其中 b≠-1, 也是 x^3+px^2+qx+r=0的根. 证明 p^2-q^2

证：逐步降次。①变为1+2x^2+x^4=ax-ax^3+b-bx^4,
整理得(b+1)x^4+ax^3+2x^2-ax+1-b=0,③
由②,x^3=-px^2-qx-r,④
代入③，[(b+1)x+a]( -px^2-qx-r)+ 2x^2-ax+1-b=0,
整理得-p(b+1)x^3+[2-ap-q(b+1)]x^2+[-a-aq-r(b+1)]x+1-b-ar=0,
把④代入上式，得-p(b+1)[ -px^2-qx-r]+ [2-ap-q(b+1)]x^2+[-a-aq-r(b+1)]x+1-b-ar=0,
整理得[2-ap+(p^2-q)(b+1)]x^2+[-a-aq+(pq-r)(b+1)]x+1-b-ar+pr(b+1)=0,⑤
②*[2-ap+(p^2-q)(b+1)]-⑤*(x+p),得[2-ap+(p^2-q)(b+1)](qx+r)-(x+p){ [-a-aq+(pq-r)(b+1)]x+1-b-ar+pr(b+1)}=0整理得[a+aq-(pq-r)(b+1)]x^2+[2q-apq+q(p^2-q)(b+1)+ap+apq-p(pq-r)(b+1)-1+b+ar-pr(b+1)]x-p[1-b-ar+pr(b+1)]+2r-apr+r(p^2-q)(b+1)=0,
即[a+aq-(pq-r)(b+1)]x^2+[-1+b+2q+ap+ar-q^2(b+1)]x-p+2r+bp-qr(b+1)=0,⑥
可继续降次，
b+1≠0，③有4个根，都是②的根，②至多有3个根，

∴③至少有两根相等，对③求导得4(b+1)x^3+3ax^2+4x-a=0,⑦

③⑦有公根，是②的根
无法消去a,b,因此无法证明结论。