已知函数g（x）=ax 2 -2ax+b+1（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f（x）= g(x) x

已知函数g（x）=ax 2 -2ax+b+1（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f（x）= g(x) x ．（1）求a、b的值；（2）若不等式f（2 x ）-k?2 x ≥0在x∈[-1，1]上有解，求实数k的取值范围．

（1）函数g（x）=ax 2 -2ax+b+1=a（x-1） 2 +1+b-a，
因为a＞0，所以g（x）在区间[2，3]上是增函数，故






g(2)=1
g(3)=4 ，解得






a=1
b=0 ． …．（6分）
（2）由已知可得f（x）=x+
1
x -2，所以，不等式f（2 x ）-k?2 x ≥0可化为 2 x +
1
2 x -2≥k?2 x ，
可化为 1+ (
1
2 x ) 2 -2?
1
2 x ≥k，令t=
1
2 x ，则 k≤t 2 -2t+1．
因 x∈[-1，1]，故 t∈[
1
2 ，2]．故k≤t 2 -2t+1在t∈[
1
2 ，2]上能成立．
记h（t）=t 2 -2t+1，因为 t∈[
1
2 ，2]，故 h（t） max =h（2）=1，
所以k的取值范围是（-∞，1]． …（14分）

（1）函数g（x）=ax2-2ax+b+1=a（x-1）2+1+b-a，
因为a＞0，所以g（x）在区间[2，3]上是增函数，故 
 g(2)=1g(3)=4 
，解得
 a=1b=0 
． …．（6分）
（2）由已知可得f（x）=x+
1 
x 
-2，
所以 不等式f（2x）-k•2x≥0可化为 2x+
1 
2x 
-2≥k•2x，
化为 1+(
1 
2x 
)2-2•
1 
2x 
≥k，令t=
1 
2x 
，则 k≤t2-2t+1，因 x∈[-1，1]，故 t∈[
1 
2 
，2]，
记h（t）=t2-2t+1，因为 t∈[
1 
2 
，2]，故 h（t）min=1，
所以k的取值范围是（-∞，1]． …（14分）