无梁殿的建造方法

无梁殿的建造方法

郭敦顒回答：
参加房屋建筑工作（1968—1973，35—40虚岁，33—38岁）
1967——1980年的几年，我也常为人们盖房屋，最值得一提的是1975年我建的“重力拱形”房顶与“重力圆壳形”房顶的两间房屋了。
国家穷，1970年前后各地粮食部门陆续兴建了一些贮存粮食的土圆仓，节省了不少木料砖瓦与钢材等建筑材料，解决了粮食的贮存问题。土圆仓的上顶是壳形的（不用或少用了木材）；而更一般的拱形建筑，如拱门拱桥拱形房顶等等，它们的具体形状结构与力学原理都是值得研究的。宋代，七山东南山腰曾雕刻有大佛，并建有无梁殿，该无梁殿即为砖结构的拱形房顶建筑，但它仍有承受拉力的梁；在薛城20世纪60年代曾建有九间一排的（半）圆拱形砖结构房顶建筑，那是无梁的。这是我直观上的了解，但其力学原理，以前我并不了解。因为在20世纪60、70年代，我家贫困，生活困难，住房犹其困难。当时我家于1968年被从老家搬出到敦校家住，我母亲和二哥他们一家住三间堂屋，另两间房的废墟，只一间有上顶，做了厨房，我也将就着在那间里住。于是总想将另一间废墟修建好门墙，盖上房顶，但这对于我们家来说仍是极为不易的。所以我总想少花钱同样办事，从现实来说，就是花较少的钱将另一间废墟修建好门墙，盖上房顶。而其实在我回家到1968年以来一直住房困难，就想修建两间少花钱的房屋。而少花钱只能省在房顶上，所以从1965年以来，我就对拱形与壳形房顶的结构与力学原理进行了研究。我将这方面的研究成果于1973年写出了《重力拱形》与《重力圆壳形》两篇涉及数学力学应用与建筑方面的论文。1975我所建两间房屋的“重力拱形”房顶与“重力圆壳形”房顶所依据的数学与力学原理就是由上述两篇论文所给出的。
我写出了《重力拱形》与《重力圆壳形》两篇论文后，先后给数学研究所、力学研究所、建筑设计研究院、粮食部设计院寄去，希望给予评价，如认为有新的理论更希望在他们的刊物上进行发表。最后粮食部设计院给我回信指明了两个问题：1，土圆仓的上顶是抛物线形的；2，拱形的压力曲线应在其横截面内。这两个问题很重要，但是他们（粮食部设计院）并没有看明白我的那两篇论文。那两篇论文所给出的《重力拱形》与《重力圆壳形》它们的自重力的重力拱线（即压力曲线）不仅在其图形的横截面内而且在其图形横截面的中线上，就是说它的压力曲线随其图形走向的变化而变化的，这样可使得图形（“重力拱形”或“重力圆壳形”）建造得很薄，从而可最大限度的节省材料。
当时我设计“重力拱形”与“重力圆壳形”时，还没系数地学习过高等数学，但是我却利用了“以直代曲”和极限的原理，将拱线分成很多等长的小段；反之，每一小段都可近似地视为是曲线的。因为是等长的，所以在等宽等厚等长的一个用材一致的拱段的重量应视为是相等的，于是拱形从拱顶向下向两端每增加一个单位拱长，都会引起其自重力压力方向的变化，根据静力学原理，于就形成了“重力拱线”（这是我给予的命名，就是重力拱形的压力曲线），如前所述这个“重力拱线”是随“重力拱形”曲线的变化而变化的，就是说重力拱形曲线与其重力拱线——压力曲线是重合的。我当时所用的计算公式如下：
设拱的一个基本长度单位为c，则ci为第i段拱的拱长；拱顶点为A，拱一侧第n段拱端点为M（与另一侧是对称的），则拱一侧的拱长为AM，一般的第i段拱端点为Mi，其拱长记为AMi，底角为θi，即∠AiMiBi，拱过点Mi的切线即为AiMi。如下图——第i段拱的基础性图形所示；又设第n段拱的半拱跨度长为x，高为y。   
                                                    Ai  
                                    ci           bi
                        Mi      θi       ai        Bi    
                    重力拱形第i段拱的基础性图
于是有                                      
    c=ci=AiMi=√（ai2+bi2）                 （G1）
    tgθi=bi/ai=itgθ1                       （G2.1）
    tgθn=bn/an=ntgθ1                     （G2.2）
    ai=MiBi=cicosθi                         （G3）
    bi=AiBi=cisinθi                         （G4）
    x=Σi=1ncicosθi=Σi=1nai                  （G5）
    y=Σi=1ncisinθi=Σi=1nbi                  （G6）
    A⌒Mi=nc                              （G7）
而“重力圆壳形”与“重力拱形”在设计上的力学基本原理是相同的，所不同之处“重力拱形”是每一段拱长都与基本单位拱长相等为基础，而“重力圆壳形”则是其圆壳的每一圆台侧面积都与基本单位圆面积相等为基础。“重力圆壳形”可看作是侧面相等圆台的连续衔接，且满足重力圆壳母线上任一点的切线与母线相一致，即是说重力圆壳自重力的压力曲线重合于其重力圆壳侧面的母线。
重力圆壳形在设计上所用的计算公式如下：
重力圆壳形上顶第一个基本单位圆壳形可看作是一个圆锥体的侧面，因其高H1很小，其侧面可近视地看作是一个平面圆，其半径为R1，其面积为s1，作为基本单位面积时可将下标去掉，其侧面母线记为l1，底角的初角记为θ1,于是有
s=s1=πR12=πR2                        （Q1.1）
    l1≈R1                                （Q1.2）
tgθ1=b1/a1=H1/R1                      （Q1.3）
 
 
 
 
                                  Qi
 
                   li-1      hi-1 
                                 hi  
             Mi-1     Ri-1         Oi-1  
             ciθi bi       Ri         Oi  
       Mi  ai   Ai
               重力圆壳形的第i阶轴截面基础性图
       
s1与tgθ1都是基础性单位，在实际运用上应采用适当小的数值，这取决于重力圆壳形设计的大小（半径跨度长为Rn，底角θn）与计算阶梯次数n的多少（一般的，200≤n≤1000可满足要求）。
从数学极限理论上来说应该是
  lims1→0     limtgθ1→0    limn→∞
而半径跨度长Rn与底角θn则为设计的确定值。这里只是记载了实际应用的状况，并未对此问题进行更深入的理论研究。
则基本单位圆台的侧面积即为s，于是
        s=si        i=1，2，3……，n           （Q2）
如重力圆壳形的第i阶轴截面基础性图所示
    hi=QiOi=hi-1+bi                           （Q3.1）
    hi-1=QiOi-1                              （Q3.2）
    bi=Mi-1Ai=cisinθi                       （Q4）
    Ri=MiOi=Ri-1+ai                           （Q5.1）
    Ri-1=Mi-1Oi-1                            （Q6）
    ai=MiAi=cicosθi                         （Q7）
    tgθi=bi/ai=itgθ1                       （Q8）
    li=QiMi=li-1+ci                           （Q9.1）
    li-1=QiMi-1=Ri-1/cosθi                    （Q10）
    ci=Mi-1Mi=li-Ri-1/cosθi                   （Q11）
    si=πR2=πRili-πRi-1li-1                  （Q12.1）
    R2=Rili-Ri-1li-1                          （Q13.1）
    Ri=licosθi                             （Q5.2）
    Rili=li2cosθi                           （Q14.1）
    Ri-1li-1=Ri-12/cosθi                     （Q14.2）
    R2=li2cosθi-Ri-12/cosθi                 （Q13.2）
    li2=(R2+Ri-12/cosθi)/cosθi              （Q9.2_1）
    li2=R2/cosθi+Ri-12/cos2θi              （Q9.2_2）
    li=√[R2/cosθi+Ri-12/cos2θi]           （Q9.3）
又重力圆壳第n阶圆台的底面半径跨度长为Rn，圆壳高为Hn，圆壳母线长为Cn，圆壳总侧面积为Sn则有
    ln=√[R2/cosθn+Rn-12/cos2θn]          （Q15.1）
    Rn=lncosθn                            （Q15.2）
    Hn=Σi=1ncisinθi=Σi=1nbi                 （Q15.3）
    Cn=Σi=1nci                             （Q15.4）
    tgθn=bn/an=ntgθ1                     （Q15.5）
    Sn=ns                                  （Q15.6）
我建造“重力圆壳形”房顶内胎模是由紫穗槐条子编成的（之前我摸索学会了条货的编制，编过篮子、囤、扒等家具）。建成后胎模未拆除。
及至到1978年以后，我自学了高等数学（四川大学物理系用教材为主，兼有其它教材），回头察看“重力拱形”的重力拱线——压力曲线，竟然是悬链线的倒置。不是吗？悬链线的力学性质是均匀悬链自然下垂所产生的拉力曲线，它与其悬链线的走向是一致的更准确地说是重合的；悬链线倒置后形成的则是拱线，它的力是压力，就形成了——压力曲线——重力拱线，于是它形成的拱线与其压力曲线则是重合的。
 
 
                                     y


           
       
     
 
 


 


                                 N          P（x，y）
                                 A 
                                 O          M          x
                                          
                               悬链线图
悬链线方程：
   AO=a                                 （X1）
    Y=a（ex/a+e-x/a）/2                   （X2.1）
    Y=ach（x/a）                         （X2.2）
A⌒P=a（ex/a-e-x/a）/2                 （X3.1）
A⌒P=ash（x/a）                      （X3.2）
——摘自《郭敦顒自传》——