求1²+2²+3²+...+n²

求1²+2²+3²+...+n²

利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
.....
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
或
数学归纳法
　　1、N=1时，1=1（1+1）（2×1+1）/6=1
　　2、N=2时，1+4=2（2+1）（2×2+1）/6=5
　　3、设N=x时，公式成立，即1+4+9+…+x2=x(x+1)(2x+1)/6
　　则当N=x+1时，
　　1+4+9+…+x2+（x+1）2=x(x+1)(2x+1)/6+（x+1）2
　　=（x+1）[2（x2）+x+6（x+1）]/6
　　=（x+1）[2（x2）+7x+6]/6
　　=（x+1）（2x+3）（x+2）/6
　　=（x+1）[（x+1）+1][2（x+1）+1]/6
　　也满足公式
　　4、综上所述，平方和公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立，得证。

两边同时加上 1+2！+3！+……(n-1)!+n！得

2+(2+1)2!+(3+1)3!+……n(n-1)!+(n+1)n!=100!-1+1+2!+3!+……+n!

即 2!+3!+4!+……+n!+(n+1)!=2!+3!+4!+……+n!+100!，

于是得 (n+1)!=100!，

故 n+1=100，得 n=99.

1²+2²+3²+...+n² =1/6n*(n+1)(2n+1)