己知各项均为正数的数列{an}满足：a1=3，且anan+12-2（an2-1）an+1-an=0，n∈N*．（1）设bn=an-1an，求数

己知各项均为正数的数列{an}满足：a1=3，且anan+12-2（an2-1）an+1-an=0，n∈N*．（1）设bn=an-1an，求数列{bn}的通项公式；（2）设Sn=a12+a22+…+an2，Tn=1a12+1a22+…+1an2，求Sn+Tn，并确定最小正整数n，使Sn+Tn为整数．

（1）由题意知，
bn+1=an+1-
1
an+1 =
an+12?1
an+1 =
2(an2?1)
an =2(an?
1
an )=2bn，
b1＝a1?
1
a1 ＝
8
3 ，
∴数列{bn}是公比为2，首项为
8
3 的等比数列，其通项公式为bn＝
2n+2
3 ．
（2）由（1）有Sn+Tn＝(a1?
1
a1 )2+(a2?
1
a2 )2+…+(an?
1
an )2+2n
=（
23
3 ）2+（
24
3 ）2+…（
2n+2
3 ）2+2n
=
64
27 (4n?1)+2n，n∈N*，
为使Sn+Tn=
64
27 (4n?1)2+2n，n∈N*，当且仅当
4n?1
27 为整数．
当n=1，2时，Sn+Tn不为整数，
当n≥3时，4n-1=（1+3）n-1=

anan-1=an-1-an anan-1+an=an-1 an=an-1/(a(n-1)+1) n>=2 a1=1/3 a2=a1/(a1+1) =1/3/(1/3+1)=1/4 a3=a2/(a2+1)=a1/(a1+1) / (a1/(a1+1)+1) =a1/(a1+a1+1)=a1/(2a1+1) =1/3/(2/3+1) =1/5 a4=a3/(a3+1)=a1/(2a1+1) / ( a1/(2a1+1)+1) =a1/(a1+2a1+1)=a1/(3a1+1) =1/3/(3/3+1)=1/6 ...... an=a1/((n-1)a1+1)=1/3 / ((n-1)1/3 +1) =1/(n-1+3) =1/(n+2) bn=1/an=1/1/(n+2)=n+2