期中考的压轴大题

已知二次函数f(x)=ax^2+x(a∈R, a≠0).

（1）求证：当a＞0时，函数f(x)是下凸函数.

（2）如果x∈［0,1］时，|f(x)|≤1，试求实数a的范围.

第一题，实际求证函数单调性。

对于二次函数，其对称轴方程为x= -1/2a

分区间[-无穷，-1/2a]和[-1/2a，+无穷]讨论函数单调性。

在区间[-无穷，-1/2a]上任取m、n，且m>n

f（m）=am²+m

f（n）=an²+n

f（m）-f（n）=a（m+n）（m-n）+（m-n）=（m-n）[a（m+n）+1]

m+n>0，m-n<0，a>0，所以f（m）<f（n）由此证明了指定区间上为减函数。

同理证明第二个区间上为增函数。

所以原函数为下凸函数