如果对于函数f（x）定义域内任意的两个自变量的值x 1 ，x 2 ，当x 1 ＜x 2 时，都有f（x 1 ）≤f（x 2 ）

如果对于函数f（x）定义域内任意的两个自变量的值x 1 ，x 2 ，当x 1 ＜x 2 时，都有f（x 1 ）≤f（x 2 ），且存在两个不相等的自变量值y 1 ，y 2 ，使得f（y 1 ）=f（y 2 ），就称f（x）为定义域上的不严格的增函数，已知函数g（x）的定义域、值域分别为A、B，A=1，2，3，B?A，且g（x）为定义域A上的不严格的增函数，那么这样的g（x）共有（　　）
A．3个 B．7个 C．8个 D．9个

由题意，若函数g（x）是三对一的对应，则有{1，2，3}对应1；{1，2，3}对应2；{1，2，3}对应3三种方式，故此类函数有三种
若函数是二对一的对应，则有{1，2}对1，3对2；；{1，2}对1，3对3，有两种
                        1对1，{2，3}对2；1对1，{2，3}对3，有两种
                        1对2，{2，3}对3，有一种
若函数是一对一的对应，则1对1，2对2，3对3，共一种
综上这样的g（x）共有3+2+2+1+1=9种
故选D

这类题目是对数型函数

（1）证明:由题意知，令x1=1，x2=2，∴f（2）=f（1）＋f（2），∴f（1）=0

令x1=x2=﹣1，则f（1）=2f（﹣1）=0 ， ∴f（﹣1）=0

令x1=x，x∈（﹣∞，0）∪（0，﹢∞），x2=﹣1，则﹣x∈（﹣∞，0）∪（0，﹢∞）

∴f（﹣x）=f（x·﹙﹣1﹚）=f（x）＋f（﹣1）=f（x）＋0=f（x）

即：f（﹣x）=f（x）

定义域（﹣∞，0）∪（0，﹢∞）显然是关于原点对称的。

∴f（x）为偶函数。

............................................................

(2)证明：（定义法）

令x1、x2∈（0，﹢∞），且x1＜x2，则x2／x1＞1

又x＞1时，f（x）＞0， ∴f（x2／x1）＞0

∴f（x2）－f（x1）

=f【（x2／x1）·x1】－f（x1）

=f（x2／x1）＋f（x1）－f（x1）

=f（x2／x1）＞0

即：f（x2）＞f（x1）

∴f（x）在（0，﹢∞）上为增函数。