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解答题已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值.(1)求函数f(x)

答案:2  悬赏:80  手机版
解决时间 2021-01-04 09:34
解答题 已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求证:对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值x1,x2都有|f(x1)-f(x2)|≤4.
最佳答案
(1)解:∵f(x)=ax3+bx2-3x,
∴f'(x)=3ax2+2bx-3,
∵函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值,
∴f'(1)=f'(-1)=0…(3分)
即3a+2b-3=3a-2b-3=0,
解得a=1,b=0,
∴f(x)=x3-3x…(6分)
(2)证明:∵f(x)=x3-3x
∴f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)…(7分)
当-1<x<1时,f'(x)<0,
故f(x)在区间[-1,1]上为减函数?…(9分)
f(x)max=f(-1)=2,
f(x)min=f(1)=-2…(11分)
∴对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值x1,x2,
都有|f(x1)-f(x2)|
≤|f(x)max-f(x)min|
=2-(-2)=4…(12分)解析分析:(1)f'(x)=3ax2+2bx-3,依题意,f'(1)=f'(-1)=0,由此能求出函数f(x)的解析式.(2)由f(x)=x3-3x,知f'(x)=3(x+1)(x-1).当-1<x<1时,f'(x)<0,由此能够证明对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值x1,x2都有|f(x1)-f(x2)|≤4.点评:本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用,具体涉及到函数解析式的求法和不等式的证明,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化思想.对数学思维的要求比较高,有一定的探索性.解题时要认真审题,仔细解答.
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