已知{an}是等差数列，其前n项的和为Sn，{bn}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=21，S4+b4=30．（1）求数列{an
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解决时间 2021-01-29 13:43
- 提问者网友：暮烟疏雨之际
- 2021-01-29 04:21
已知{an}是等差数列，其前n项的和为Sn，{bn}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=21，S4+b4=30．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）记cn=anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和．
最佳答案
- 五星知识达人网友：七十二街
- 2021-01-29 05:42
（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．
由a1=b1=2，得a4=2+3d，b4=2q3，S4=8+6d．…（3分）
由条件a4+b4=21，S4+b4=30，得方程组解得
所以an=n+1，bn=2n，n∈N*．
（2）由题意知，cn=（n+1）×2n．
记Tn=c1+c2+c3+…+cn．
则Tn=c1+c2+c3+…+cn
=2×2+3×22+4×23+…+n×2n-1+（n+1）×2n，
2 Tn=2×22+3×23+…+（n-1）×2n-1+n×2n+（n+1）2n+1，
所以-Tn=2×2+（22+23+…+2n）-（n+1）×2n+1，
即Tn=n?2n+1，n∈N*．
由a1=b1=2，得a4=2+3d，b4=2q3，S4=8+6d．…（3分）
由条件a4+b4=21，S4+b4=30，得方程组解得
所以an=n+1，bn=2n，n∈N*．
（2）由题意知，cn=（n+1）×2n．
记Tn=c1+c2+c3+…+cn．
则Tn=c1+c2+c3+…+cn
=2×2+3×22+4×23+…+n×2n-1+（n+1）×2n，
2 Tn=2×22+3×23+…+（n-1）×2n-1+n×2n+（n+1）2n+1，
所以-Tn=2×2+（22+23+…+2n）-（n+1）×2n+1，
即Tn=n?2n+1，n∈N*．
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