平面上点的两个坐标都是有理数,则称为有理点,证明平面上所有有理点的集合为可数

平面上点的两个坐标都是有理数,则称为有理点,证明平面上所有有理点的集合为可数

同证明有理数为可数集，同样用编号法。
因为有理数能表示成两整数之比，同理，有理数点都能表示成(a/b,c/d)形式。于是按a/b,c/d中从小到大排列，并正负交换，得到以下排列，便列出了所有的有理点集：
0→(0,0),1→(0,1),2→(0,-1),3→(1,0),4→(-1,0),5→(1,1),6→(1,-1),7→(-1,-1),8→(0,2),9→(0,-2),10→(1,2),11→(1,-2),12→(-1,2),13→(-1,-2),14→(2,2),15→(2,-2),16→(-2,2),17→(-2,-2),18→(2,1)……21→(-2,-1),22→(0,1/2),23→(0,-1/2),24→(1/2,0),25→(-1/2,0),26→(1/2,1)……30→(1,1/2)……34→(2,1/2)……38→(1/2,2)……42→(1/2，1/2)……46→(0,3)……
显然坐标为有理数点组成的集合与自然数集一一对应。因此平面上所有的有理点的集合为可数集。

首先证明：每一个圆周上含有3个有理点的圆，它的圆周上一定含有无穷多个有理点． 设平面上⊙C0的圆周上含有3个有理点Pi（xi，yi）（i=1，2，3），C0（x0，y0），则 ∵线段P1P2，P1P3的垂直平分线过C0， ∴ (y2−y1)(y0− y1+y2 2 )+(x2−x1)(x0− x1+x2 2 )＝0 (y3−y1)(y0− y1+y3 2 )+(x3−x1)(x0− x1+x3 2 )＝0 ， ∵xi，yi（i=1，2，3）都是有理数， ∴方程组的解（x0，y0）都是有理数， 设有理点Pn（xn，yn）的坐标为 xn＝x0+an(x3−x0)−bn(y3−y0) yn＝y0+bn(x3−x0)+an(y3−y0) ， 其中an＝ n2−1 n2+1 ，bn＝ 2n n2+1 （n≥4）， 则|PnC0|2=(x3−x0)2+(y3−y0)2=|P3C0|2， ∴Pn（xn，yn）都在⊙C0的圆周上，即圆周上一定含有无穷多个有理点． 其次，构造一个圆周傻瓜值含有两个有理点的实例． C：(x− 2 )2+(y− 2 )2＝6，则P1（-1，1），P2（1，-1）都在⊙C的圆周上， 若圆周上含有其它有理点P3（x3，y3）， 则(x3− 2 )2+(y− 2 )2＝6， 即x32+y32−2＝2 3 （x3+y3）， 因为左边是有理数， 2 是无理数， 所以x3+y3=0， ∴x3=1，y3=-1或x3=-1，y3=1，即是P1（-1，1），P2（1，-1），矛盾． 综上所述，k的最小值为3．