3阶实矩阵,满足(A-E)(A-2E)(A-3E)=0,证明其可以相似对角化.

3阶实矩阵,满足(A-E)(A-2E)(A-3E)=0,证明其可以相似对角化.

由于 (A-E)(A-2E)(A-3E)=0
所以 A 的特征值只能是 1,2,3
(1)若1,2,3都是A的特征值,
则3阶矩阵A有3个不同的特征值,故A可对角化
(2)若1,2,3中两个是A的特征值,另一个不是 --这个情况是关键
不妨设 1,2是A的特征值,3不是A的特征值
则 |A-3E|≠0,故A-3E可逆
所以有 (A-E)(A-2E)=0
所以 r(A-E)+r(A-2E)
再问： 明白了,考试时我后边种都没写...关键是没理解特征值只是含于该方程.那满分10分,得扣多少分啊?
再答： 一般会按 3,4,3 分配分数 狠一点的话按 2,5,2 分配