已知抛物线C：y 2 =8x与点M（-2，2），过C的焦点的直线l与C交于A，B两点，若 MA ?

已知抛物线C：y 2 =8x与点M（-2，2），过C的焦点的直线l与C交于A，B两点，若 MA ? MB =0 ，求|AB|．

由抛物线C：y 2 =8x可得焦点F（2，0），设A (

y 21
8 ， y 1 ) ，B (

y 22
8 ， y 2 ) ．
设直线l的方程为my=x-2，联立






my=x-2
y 2 =8x ，化为y 2 -8my-16=0，
∴y 1 +y 2 =8m，y 1 y 2 =-16．（*）
∵



MA ?



MB =0 ，∴ (

y 21
8 +2， y 1 -2)?(

y 22
8 +2， y 2 -2) =0．
化为 (

y 21
8 +2)(

y 22
8 +2)+( y 1 -2)( y 2 -2)=0 ，
整理为

y 21
y 22
64 +
1
4 ( y 1 + y 2 ) 2 +
1
2 y 1 y 2 +8-2（y 1 +y 2 ）=0，
把（*）代入上式可得
1 6 2
64 +
1
4 ×(8m ) 2 +
1
2 ×(-16) +8-2×8m=0，
化为4m 2 -4m+1=0，解得m=
1
2 ．
∴y 1 +y 2 =4，y 1 y 2 =-16．
∴|AB|=


(1+ m 2 )[( y 1 + y 2 ) 2 -4 y 1 y 2 ] =


(1+
1
4 )( 4 2 +4×16) =10．