若数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n都有6Sn=1-2an．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若c1=0，且对

若数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n都有6Sn=1-2an．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若c1=0，且对任意正整数n都有cn+1-cn=log 12an，求证：对任意n≥2，n∈N*都有1c2+1c3+…+1cn＜34．

（1）当n=1时，6S1=1-2a1．解得a1＝
1
8 ；
当n≥2时，6Sn=1-2an①，6Sn-1=1-2an-1②，
①-②，化简得
an
an?1 ＝
1
4 ，
∴{an}是首项为
1
8 ，公比为
1
4 的等比数列，
∴an＝
1
8 ?(
1
4 )n?1=(
1
2 )2n+1．
（2）∵cn+1-cn=log 
1
2 an=2n+1，
∴当n≥2时，cn=（cn-cn-1）+（cn-1-cn-2）+…+（c2-c1）+c1=（2n-1）+（2n-3）+…+3+0=n2-1，
∴
1
cn ＝
1
(n?1)(n+1) ＝
1
2 (
1
n?1 ?
1
n+1 )，
∴
1
c2 +
1
c3 +…+
1
cn ＝
1
2 (1?
1
3 +
1
2 ?
1
4 +
1
3 ?
1
5 +…+
1
n?2 ?
1
n +
1
n?1 ?
1
n+1 )=
1
2 (1+
1
2 ?
1
n ?
1
n+1 )＝
3
4 ?
1
2 (
1
n +





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（1）∵6sn=1-2an， ∴当n=1时，6a1=1-2a1，解得，a1= 1 8 ， 当n≥2时，6（sn-sn-1）=（1-2an）-（1-2an-1）， 即an= 1 4 an-1， ∴数列{an}是以 1 8 为首项， 1 4 为公比的等比数列， ∴an= 1 8 ?（ 1 4 ）n-1= 1 2 ?（ 1 4 ）n， （2）∵log 1 2 1 2 ?( 1 4 )n=2n+1， 故bn=（-1）n-1? 4(n+1) log 1 2 an?log 1 2 an+1 =（-1）n-1? 4(n+1) (2n+1)(2n+3) ， ∵当n为偶数时， bn-1+bn= 4n (2n?1)(2n+1) - 4(n+1) (2n+1)(2n+3) = 4 (2n?1)(2n+3) = 1 2n?1 - 1 2n+3 ， 故tn=b1+b2+b3+b4+…+bn-1+bn =（b1+b2）+（b3+b4）+…+（bn-1+bn） = 1 3 - 1 7 + 1 7 - 1 11 +…+ 1 2n?1 - 1 2n+3 = 1 3 - 1 2n+3 = 2n 3(2n+3) ， 当n为奇数时， tn=b1+b2+b3+b4+…+bn-2+bn-1+bn =（b1+b2）+（b3+b4）+…+（bn-2+bn-1）+bn = 1 3 - 1 7 + 1 7 - 1 11 +…+ 1 2n?3 - 1 2n+1 + 4(n+1) (2n+1)(2n+3) = 1 3 - 1 2n+1 + 4(n+1) (2n+1)(2n+3) = 2(n+3) 3(2n+3) ． 故tn= 2n 3(2n+3) ，n为偶数 2(n+3) 3(2n+3) ，n为奇数 n∈n*．