证明方程xln（2+x）=1至少有一个小于1的正跟

证明方程xln（2+x）=1至少有一个小于1的正跟

解由方程xln（2+x）=1
构造函数y=f（x）=xln（2+x）-1
则f（0）f（1）=（-1）[1ln3-1]
=-ln3+1
=1-ln3
=lne-ln3＜0
即f（0）f（1）＜0
即f（x）=xln（2+x）-1在（0，1）至少有一个零点
故
方程xln（2+x）=1至少有一个小于1的正跟

解：构造函数f(x)=x㏑(x+2)-1.易知，该函数的定义域为(-2,+∞).求导得：f'(x)=㏑(x+2)+[x/(x+2)].f''(x)=[1/(x+2)]+[2/(x+2)²].易知，在(-2,+∞)上，f''(x)＞0.∴f'（x)在[0,+∞)上递增，f'(x)＞f'(0)=㏑2.∴在r+上，f(x)递增，f(0)=-1,f(1)=(㏑3)-1＞0.∴由零点定理知，必有唯一的m∈(0,1)使得f(m)=0.即得m㏑(m+2)=1.【注：其实，在(-2,0)上，函数f(x)还有一个零点，∵f(-3/2)=(-3/2)×(㏑(1/2))-1=[(3㏑2)-2]/2=[(㏑8)-2]/2≈0.03972＞0.f(0)=-1.∴有！只能说，原方程仅有一个介于(0,1)的正根】