（2007?海南）设函数f（x）=ln（2x+3）+x2

（2007?海南）设函数f（x）=ln（2x+3）+x²
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）求f（x）在区间[-

3

4

f（x）的定义域为（-
3
2，+∞）
（1）f′（x）=
2
2x+3+2x=
4x2+6x+2
2x+3
当-
3
2＜x＜-1时，f′（x）＞0；
当-1＜x＜-
1
2时，f′（x）＜0；
当x＞-
1
2时，f′（x）＞0
从而，f（x）在区间（-
3
2，-1），（-
1
2，+∞）上单调递增，在区间（-1，-
1
2）上单调递减
（2）由（1）知f（x）在区间[-
3
4，
1
4]的最小值为f（-
1
2）=ln2+
1
4
又f（-
3
4）-f（
1
4）=ln
3
2+
9
16-ln
7
2-
1
16
=ln
3
7+
1
2=
1
2（1-ln
49
9）＜0
所以f（x）在区间[-
3
4，
1
4]的最大值为f（
1
4）=
1
16+ln
7
2．

试题解析：

（1）先根据对数定义求出函数的定义域，然后令f′（x）=0求出函数的稳定点，当导函数大于0得到函数的增区间，当导函数小于0得到函数的减区间，即可得到函数的单调区间；
（2）根据（1）知f（x）在区间[-

3

4

，

1

4

]的最小值为f（-

1

2

）求出得到函数的最小值，又因为f（-

3

4

）-f（

1

4

）＜0，得到
f（x）在区间[-

3

4

，

1

4

]的最大值为f（

1

4

）求出得到函数的最大值．

名师点评：

本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 考查学生利用导数研究函数单调性的能力，利用导数求函数在闭区间上极值的能力．