已知函数f(x)=ax²-c(a≠0)满足-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,试求f(3)的取值范围

已知函数f(x)=ax²-c(a≠0)满足-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,试求f(3)的取值范围

f（3）∈[-1,20]
由-4≤f(1)≤-1、-1≤f(2)≤5，有：-4≤a-c≤-1 -1≤4a-c≤5
f(3)=9a-c
即 9a-c即为所求
也就是说关键是用a-c和4a-c去构造9a-c
设m(a-c)+n(4a-c)=9a-c
解得m=负三分之五，n=三分之八
∴20/3≥-5（a-c）/3≥5/3 ①
40/3≥8(4a-c)/3≥-8/3 ②
由①+②，得
-1≤9a-c≤20

f(x)=-(x-a)^2+a^2-a+1

当a>1时，f(x)=-(x-a)^2+a^2-a+1在区间[0,1]上是增函数，所以值域是[f(0),f(1)]即［1-a，a］

当a<0时，f(x)=-(x-a)^2+a^2-a+1在区间[0,1]上是减函数，所以值域是[f(1),f(0)]即［a，1-a］

当0=<a<=1时最大值在x=a处，最小值在f(1)或f(0)处，当f(1)>f(0)时则是f(0),否则是f(1)

a>1-a a>1/2, 所以1/2<a<=1时是［1-a，a^2-a+1］

0<=a<1/2时是［a，a^2-a+1］

当a=1/2时，a=1-a，两个都一样大，所以随便取一个，

综上，a<0，［a，1-a］

0<=a<=1/2 ［a，a^2-a+1］

1/2<a<=1 ［1-a，a^2-a+1］

a>1 , ［1-a，a］