依概率收敛问题的证明
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解决时间 2021-04-02 18:01
- 提问者网友：风月客
- 2021-04-02 04:05
依概率收敛问题的证明
最佳答案
- 五星知识达人网友：怙棘
- 2021-04-02 04:59
令Y=1/n*∑{i=1,n}X{i}²，考虑到X{i}独立同分布，则
E(Y)=1/n*∑{i=1,n}E(X{i}²)= E(X{i}²)=D(X{i})+ E(X{i})²=σ²
D(Y)=1/n²*∑{i=1,n}D(X{i}²)=1/n* D(X{i}²)=1/n*{ E(X{i}⁴)-[ E(X{i}²)]²}
∵E(X{i}⁴<∞，∴E(X{i}⁴有界，故E(X{i}⁴≤M，M为常数
再由切比雪夫不等式，对任意ε>0，有
0≤P{|Y-E(Y)|≥ε}≤D(Y)/ε²，即
0≤P{|Y-σ²|≥ε}≤1/n*{ E(X{i}⁴)-[ E(X{i}²)]²}/ε²
≤1/n*(M-σ⁴)/ε²
而lim{n→∞}1/n*(M-σ⁴)/ε²=0
由夹逼定理可知，lim{n→∞}P{|Y-σ²|≥ε}=0
即Y=1/n*∑{i=1,n}X{i}²依概率收敛于σ²追问
谢谢
E(Y)=1/n*∑{i=1,n}E(X{i}²)= E(X{i}²)=D(X{i})+ E(X{i})²=σ²
D(Y)=1/n²*∑{i=1,n}D(X{i}²)=1/n* D(X{i}²)=1/n*{ E(X{i}⁴)-[ E(X{i}²)]²}
∵E(X{i}⁴<∞，∴E(X{i}⁴有界，故E(X{i}⁴≤M，M为常数
再由切比雪夫不等式，对任意ε>0，有
0≤P{|Y-E(Y)|≥ε}≤D(Y)/ε²，即
0≤P{|Y-σ²|≥ε}≤1/n*{ E(X{i}⁴)-[ E(X{i}²)]²}/ε²
≤1/n*(M-σ⁴)/ε²
而lim{n→∞}1/n*(M-σ⁴)/ε²=0
由夹逼定理可知，lim{n→∞}P{|Y-σ²|≥ε}=0
即Y=1/n*∑{i=1,n}X{i}²依概率收敛于σ²追问
谢谢
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