为什么（1+x）^α-1～αx？用等价无穷小求公式过程，还没学到求导，不用求导算，谢谢

为什么（1+x）^α-1～αx？用等价无穷小求公式过程，还没学到求导，不用求导算，谢谢

当a=0时，左边=0=右边，公式显然成立
当a≠0时，也就是要证明：lim(x->0) [(1+x)^a-1]/(ax)=1
①当a=k时，其中k为正整数，(1+x)^a-1=C(k,1)x+C(k,2)x^2+...+C(k,k)x^k
lim(x->0) [(1+x)^a-1]/(ax)
=lim(x->0) [kx+C(k,2)x^2+...+x^k]/(kx)
=lim(x->0) 1+[C(k,x)/k]*x+...+(1/k)*x^(k-1)
=1
即(1+x)^a-1~ax
②当a=-k时，(1+x)^a-1=(1+x)^(-k)-1=[1-(1+x)^k]/(1+x)^k~-kx/(1+x)^k
lim(x->0) [(1+x)^a-1]/(ax)
=lim(x->0) [-kx/(1+x)^k]/(-kx)
=lim(x->0) 1/(1+x)^k
=1
即(1+x)^a-1~ax
③当a≠±k时，需要求导的知识才能证明

同问。。。