一阶齐次微分方程不能用一阶线性公式算么？假设dy/dx+y/x=3，P(x)=1/x,Q(x)=3

一阶齐次微分方程不能用一阶线性公式算么？假设dy/dx+y/x=3，P(x)=1/x,Q(x)=3

将P(x)=1/x,Q(x)=3 代入公式，直接求解。这是可以的。
一般情况下，所给的微分方程都不是那种你一眼就看出的一阶非齐线性微分方程，但我们一旦通过几步运算后能化成一阶非齐线性微分方程，就可以直接用公式求解了。
比如下面这个题
（x³＋y³）dx-3xy²dy＝0
3xy²dy=（x³＋y³）dx
dy/dx=x^2/3y^2+y/3x
(y^2)dy/dx-(y^3)/3x=x^2/3
令y^3=u，上式可化为 (1/3u)'-u/(3x)=x^2/3
即u'-u/x=x^2.................(.#)
(.#)是一阶非齐线性微分方程
在这里 P(x)=-1/x Q(x)=x^2
代入公式,得u=......
然后把y^3替换u就完成了！

这个用公式算比较方便。

可以，因为它也是齐次方程
设y/x=u
y=ux
dy/dx=u+xdu/dx
原式变为：
u+xdu/dx+u=3
xdu/dx=3-2u
du/(u-3/2)=-2/xdx
积分得
ln|u-3/2|=-2ln|x|+ln|c|
所以
u-3/2=c/x²
即
y/x-3/2=c/x²
y=c/x+3/2x