E是正方形BC边的中点,F是CD上一点,且AF平分∠EFD,求tan∠FAB,JIA

E是正方形BC边的中点,F是CD上一点,且AF平分∠EFD,求tan∠FAB

方法一：
过A作AG⊥EF交EF于G。
∵ABCD是正方形，∴AD⊥DF，又∠AFD＝∠AFG，∴AD＝AG。［角平分线性质］
∵ABCD是正方形，∴AB＝AD，结合证得的AD＝AG，得：AB＝AG，∴∠AEB＝∠AEF。
由∠AEB＝∠AEF，得：∠AEF＝∠BEF/2；　由∠AFD＝∠AFE，得：∠AFE＝∠DFE/2。
∴∠AEF＋∠AFE＝（∠BEF＋∠DFE）/2。

显然，∠BEF＝180°－∠CEF，∠DFE＝180°－∠CFE，
∴∠AEF＋∠AFE＝180°－（∠CEF＋∠CFE）/2。
∵ABCD是正方形，∴∠C＝90°，∴∠CEF＋∠CFE＝90°，
∴∠AEF＋∠AFE＝180°－90°/2＝180°－45°。
∴∠EAF＝180°－（∠AEF＋∠AFE）＝45°。

延长CB至H，使BH＝CB。容易证得：AB＝BH，∠BAH＝45°。　∴∠FAB＝∠EAH。

过H作HK⊥AE交AE于K。
∵BE＝BC/2＝AB/2，∴由勾股定理，有：
AE＝√（AB^2＋BE^2）＝√［AB^2＋（AB/2）^2］＝√5AB/2。
由三角形面积公式，可得：HK×AE＝AB×EH，∴HK×（√5AB/2）＝AB×（BH＋BE），
∴（√5/2）HK＝BH＋BE＝AB＋AB/2＝3AB/2，∴HK＝（3/√5）AB。
容易知道：AH＝√2AB，∴AK＝√（AH^2－HK^2）＝√（2－9/5）AB＝AB/√5。
∴tan∠EAH＝HK/AK＝［（3/√5）AB］/（AB/√5）＝3。
即：tan∠FAB＝3。