abc均为正数,用凸凹性证明(abc)^(a+b+c)╱3≤a^a×b^b×c^c
答案:1 悬赏:0 手机版
解决时间 2021-03-23 05:58
- 提问者网友：最爱你的唇
- 2021-03-23 02:55
abc均为正数,用凸凹性证明(abc)^(a+b+c)╱3≤a^a×b^b×c^c
最佳答案
- 五星知识达人网友：躲不过心动
- 2021-03-23 04:31
用排序不等式即可证明此不等式。
不妨设a>b>c>0，则lna>lnb>lnc；根据排序不等式有：
alna+blnb+clnc>=blna+clnb+alnc；
alna+blnb+clnc>=clna+alnb+blnc；
alna+blnb+clnc=alna+blnb+clnc；
三个式子相加可得：3*(alna+blnb+clnc)>=(a+b+c)*ln(abc)。
也就是ln(a^a*b^b*c^c)>=ln{(abc)^[(a+b+c)/3]}，
∴a^a*b^b*c^c>=(abc)^[(a+b+c)/3]。#
不妨设a>b>c>0，则lna>lnb>lnc；根据排序不等式有：
alna+blnb+clnc>=blna+clnb+alnc；
alna+blnb+clnc>=clna+alnb+blnc；
alna+blnb+clnc=alna+blnb+clnc；
三个式子相加可得：3*(alna+blnb+clnc)>=(a+b+c)*ln(abc)。
也就是ln(a^a*b^b*c^c)>=ln{(abc)^[(a+b+c)/3]}，
∴a^a*b^b*c^c>=(abc)^[(a+b+c)/3]。#
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