用微积分来求截头锥体(附带截头锥体的图片)的体积公式
答案:2 悬赏:80 手机版
解决时间 2021-11-07 15:01
- 提问者网友:骑士
- 2021-11-07 08:56
用微积分来求截头锥体(附带截头锥体的图片)的体积公式
最佳答案
- 五星知识达人网友:独钓一江月
- 2021-11-07 09:08
- 为了计算方便,底边A=2a,上面的边B=2b
倾角α=arctan[(a-b)/h]
截面积=[2xtan(α)]² x为棱锥的高
棱锥的体积=∫(0,h)[2xtan(α)]²dx
∴截头棱台的体积=∫(h₁,h₂)[2xtan(α)]²dx 其中h₂-h₁=h
h₁=½b/tanα=bh/2(a-b)
h₂=½a/tanα=ah/2(a-b)
V=4·tan²(α)·⅓x³|(h₁,h₂)
=4·[(a-b)/h]²·⅓x³|(h₁³,h₂³)
=4·[(a-b)/h]²·⅓(h₂-h₁)(h₂²+h₁h₂+h₁²)
=4·⅓[(a-b)/h]²·h·[(ah)²+abh²+(bh)²]/(a-b)²
=4·⅓[a²+ab+b²]h
=⅓[(2a)²+2a·2b+(2b)²]h
即截头棱台的体积=⅓[A²+A·B+B²]·h=⅓(S+√Ss+s)·h
V=⅙h(2A·B+Ab+aB+2ab),本公式计算的结果≥⅓h哪个,当且当棱台为截头棱台时,等号成立。
全部回答
- 1楼网友:一秋
- 2021-11-07 09:48
假设被截去的四棱锥高为m,由相似原理知m/(m+h)=(√2b/2)/(√2a/2)=b/a,所以h/m=a/b-1,m=bh/(a-b)。则以平行于上下底面的平面截这个截头锥体,当这个截面距离上底的距离为y时,则截面边长为x,有m/(m+y)=a/x,即x=a(1+y/m)=a+a(a-b)y/(bh),截面积为s=x^2=a^2+2a^2(a-b)y/(bh)+a^2(a-b)^2y^2/(bh)^2,所以微积单元dV=sdy,所以体积为
V=∫dV,积分区间[0,h]。所以得
V=a^2h+a^2(a-b)h/b+a^2(a-b)^2h/(3b^2)
=[3b^2+3(a-b)b+(a-b)^2]ha^2/(3b^2)
=(a^2+ab+b^2)ha^2/(3b^2)
V=∫dV,积分区间[0,h]。所以得
V=a^2h+a^2(a-b)h/b+a^2(a-b)^2h/(3b^2)
=[3b^2+3(a-b)b+(a-b)^2]ha^2/(3b^2)
=(a^2+ab+b^2)ha^2/(3b^2)
我要举报
如以上问答信息为低俗、色情、不良、暴力、侵权、涉及违法等信息,可以点下面链接进行举报!
大家都在看
推荐资讯