已知函数f(x)对一切x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时，f(x)>1

1.求证：对于任意x∈R,恒有f（x）>0

2.求证:f（x）在R上的单调函数

因为f(x+y)=f(x)+f(y),从而f(0)=0,只需令x,y都为0。

令y=-x,则知f(x)=-f(-x)，从而函数f是一个奇函数。

由于当x>0时，f(x)>1，由奇函数性质知道：

当x<0时，f(x)<-1，所以第一题有错误。

猜想f(x+y)=f(x)*f(y)?~

f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0)

所以f(0)=0

令y=-x

f(x+y)=f[x+(-x)]=f(x)+f(-x)=f(0)=0

所以f(-x)=-f(x)

即f(x)是奇函数

第二题：因为f(x)是奇函数，所以在R上单调

又因为x＞0时f(x)＞0

所以f(x)在R上单调递增

第一题我证不出来……偶函数才会均大于0，可是我求出的是奇函数……不好意思啊