a>0,b>0,a+b=1,比较M=x^2+y^2与N=(ax+by)^2+(bx+ay)^2的大小
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解决时间 2021-02-14 21:17
- 提问者网友：轻浮
- 2021-02-14 11:26
a>0,b>0,a+b=1,比较M=x^2+y^2与N=(ax+by)^2+(bx+ay)^2的大小
最佳答案
- 五星知识达人网友：独钓一江月
- 2021-02-14 12:29
有两种方法：
①取特值法。②相减法
（1）令 a=0.2 b=0.8 a+b=1
N=(ax+by)²+(bx+ay)²
=(0.2x+0.8y)²+(0.8x+0.2y)²
=0.04x²+0.32xy+0.64y²+0.64x²+0.32xy+0.04y²
=0.68x²+0.64xy+0.68y²
=x²+y²-0.32x²+0.64xy-0.32y²
=x²+y²-0.32(x²-2xy+y²)
=x²+y²-0.32(x-y)²
∵ (x-y)²≥0
∴
x²+y²＞x²+y²-0.32(x-y)²
即：M>N
(2) a=0.5 b=0.5 a+b=1
N=(ax+by)²+(bx+ay)²
=(0.5x+0.5y)²+(0.5x+0.5y)²
=2（0.5x+0.5y）²
=0.5(x+y)²
∴
即：M>N
①取特值法。②相减法
（1）令 a=0.2 b=0.8 a+b=1
N=(ax+by)²+(bx+ay)²
=(0.2x+0.8y)²+(0.8x+0.2y)²
=0.04x²+0.32xy+0.64y²+0.64x²+0.32xy+0.04y²
=0.68x²+0.64xy+0.68y²
=x²+y²-0.32x²+0.64xy-0.32y²
=x²+y²-0.32(x²-2xy+y²)
=x²+y²-0.32(x-y)²
∵ (x-y)²≥0
∴
x²+y²＞x²+y²-0.32(x-y)²
即：M>N
(2) a=0.5 b=0.5 a+b=1
N=(ax+by)²+(bx+ay)²
=(0.5x+0.5y)²+(0.5x+0.5y)²
=2（0.5x+0.5y）²
=0.5(x+y)²
∴
即：M>N
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