f(x)=lim(n→∞)[1+ x^n+ (x^2/2)^n]^(1/n) ,x≥0.求f(x)
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解决时间 2021-01-12 12:15
- 提问者网友：趣果有间
- 2021-01-11 17:41
f(x)=lim(n→∞)[1+ x^n+ (x^2/2)^n]^(1/n) ,x≥0.求f(x)
最佳答案
- 五星知识达人网友：廢物販賣機
- 2021-01-11 18:26
当x<1时，x^n→0，(x^2/2)^n→0，则f(x)=1
当x=1时，x^n=1，(x^2/2)^n→0，则f(x)=2^(1/n)=1
当x>1时，f(x)=e^ lim(n→∞) (1/n)·ln(1 +x^n +(x^2/2)^n)
=e^ lim(n→∞) (ln x ·x^n + ln(x^2/2) ·(x^2/2)^n) /(1 +x^n +(x^2/2)^n)【洛比达法则】
=e^ lim(n→∞) (ln x + ln(x^2/2) ·(x/2)^n) /(1/x^n +1 +(x/2)^n)【指数上分子和分母都除以x^n】
=e^ lim(n→∞) (ln x + ln(x^2/2) ·(x/2)^n) /( 1 +(x/2)^n)
则
{
当1
当x>2时，f(x)=e^ lim(n→∞) (ln x / (x/2)^n + 1 ) /( 1/(x/2)^n +1)【指数上分子和分母都除以(x/2)^n】
=e^ ((0+1) / (0+1) )
=e参考资料：这答案是我Ctrl C的= =
当x=1时，x^n=1，(x^2/2)^n→0，则f(x)=2^(1/n)=1
当x>1时，f(x)=e^ lim(n→∞) (1/n)·ln(1 +x^n +(x^2/2)^n)
=e^ lim(n→∞) (ln x ·x^n + ln(x^2/2) ·(x^2/2)^n) /(1 +x^n +(x^2/2)^n)【洛比达法则】
=e^ lim(n→∞) (ln x + ln(x^2/2) ·(x/2)^n) /(1/x^n +1 +(x/2)^n)【指数上分子和分母都除以x^n】
=e^ lim(n→∞) (ln x + ln(x^2/2) ·(x/2)^n) /( 1 +(x/2)^n)
则
{
当1
当x>2时，f(x)=e^ lim(n→∞) (ln x / (x/2)^n + 1 ) /( 1/(x/2)^n +1)【指数上分子和分母都除以(x/2)^n】
=e^ ((0+1) / (0+1) )
=e参考资料：这答案是我Ctrl C的= =
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