如图,在等边三角形ABC中,P为BC直线上一点,边P作PE垂直AB于点E,PE垂直于点F,BD是三角形ABC的高。
(!)如图1,当P为线段BC的中点时,求证:PE+PF=BD
(2)如图2,当点不是线段BC的中点时,PE、PF、BD三条线段又有什么数量关系?用不同于(1)的证法证明你的结论;
(3)如图3,当点P在BC直线上时,PE、PF、BD之间有什么数量关系?完成图3,并直接写出结论为:
如图,在等边三角形ABC中,P为BC直线上一点,边P作PE垂直AB于点E,
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解决时间 2021-01-02 05:45
- 提问者网友:辞取
- 2021-01-02 00:25
最佳答案
- 五星知识达人网友:梦中风几里
- 2021-01-02 00:41
【PF⊥AC于F】
(1)当P为线段BC的中点时,求证:PE+PF=BD
证明:
∵P为BC的中点,根据三线合一,AP是∠BAC的平分线,
∴PE=PF【平分线上的点到两边的距离相等】
∵PF⊥AC,BD⊥AC
∴PF//BD
∴PC/BC =PF/BD
∴PF =½BD
∴PE+PF=BD
(2)当点不是线段BC的中点时,PE +PF=BD
证明:
作BM⊥PF,交FP的延长线于F
则四边形BMFD是矩形
∴BD=MF
∵BD⊥AC,∴BD是∠ABC的平分线,∠ABC=60º
∴∠DBC=30º
∵∠DBM=90º
∴∠MBP=∠DBM-∠DBC=60º
∴∠EBP=∠MBP
又∵∠BEP=∠BMP=90º,BP=BP
∴⊿BEP≌⊿BMP(AAS)
∴PE=PM
∴BD=MF=PM+PF=PE+PF
(3)当点P在BC直线上时,|PE-PF|=BD
证明:
设P在BC的延长线上,
在BD的延长线上截取DN=PF,连接PN,
∵BD⊥AC,PE⊥AC
∴四边形DFPN是矩形
∴∠N=90º
∵∠NBP=½∠ABC=30º
∠EPB=90º-∠ABC=30º
∴∠NBP=∠EPB
又∵∠BEP=∠N=90º,BP=PB
∴⊿BEP≌⊿PNB(AAS)
∴BN=PE
即PE-PF=BD
若P再CB的延长线上,PF-PE=BD
∴|PE-PF|=BD
(1)当P为线段BC的中点时,求证:PE+PF=BD
证明:
∵P为BC的中点,根据三线合一,AP是∠BAC的平分线,
∴PE=PF【平分线上的点到两边的距离相等】
∵PF⊥AC,BD⊥AC
∴PF//BD
∴PC/BC =PF/BD
∴PF =½BD
∴PE+PF=BD
(2)当点不是线段BC的中点时,PE +PF=BD
证明:
作BM⊥PF,交FP的延长线于F
则四边形BMFD是矩形
∴BD=MF
∵BD⊥AC,∴BD是∠ABC的平分线,∠ABC=60º
∴∠DBC=30º
∵∠DBM=90º
∴∠MBP=∠DBM-∠DBC=60º
∴∠EBP=∠MBP
又∵∠BEP=∠BMP=90º,BP=BP
∴⊿BEP≌⊿BMP(AAS)
∴PE=PM
∴BD=MF=PM+PF=PE+PF
(3)当点P在BC直线上时,|PE-PF|=BD
证明:
设P在BC的延长线上,
在BD的延长线上截取DN=PF,连接PN,
∵BD⊥AC,PE⊥AC
∴四边形DFPN是矩形
∴∠N=90º
∵∠NBP=½∠ABC=30º
∠EPB=90º-∠ABC=30º
∴∠NBP=∠EPB
又∵∠BEP=∠N=90º,BP=PB
∴⊿BEP≌⊿PNB(AAS)
∴BN=PE
即PE-PF=BD
若P再CB的延长线上,PF-PE=BD
∴|PE-PF|=BD
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- 1楼网友:轻雾山林
- 2021-01-02 01:22
∵∠b=60°,pd⊥bc,
∴在rt△pdb中,bd=pb/2=ap,
又∠b=60°=∠a, ∠pdb==90°=∠epa,
∴△pdb≌△epa,
∴pd=ep,
∴△pde是等腰三角形,
又,∠epd=∠epb-∠bpd=∠epb-(90°-∠b)=90°-(90°-60°)=90°-30°=60°,
∴△pde是等边三角形。
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