一次函数重点题型

都有哪些

函数知识与代数、几何等其它知识联系密切，一些综合题
要涉及到代数中的方程，不等式等内容以及几何中有关图形的知
识，解决这类问题是本单元的重点和难点，也是近年来各省市
中考试题中考查的重点。
解决综合问题，首先要有全面、扎实的知识基础，另外要
掌握分析问题的方法，认真审题，运用数学思想方法，深入发
掘已知与未知及所涉及知识点之间的内在联系。尤其要认真观
察图形，探索图形中蕴含的数量关系，实现知识间的相互转化，
化繁为简，化难为易。
例1.已知：如图(1)，矩形EFGH内接于△ABC，两个顶点E、
F在BC边上，顶点H、G分别在AB、AC边上。
(1)设底边BC=12厘米，高为h厘米，GF为x厘米，GH为y厘米，
求y关于x的函数关系式；
(2)在(1)的条件下，当高h=8厘米时，要使矩形EFGH的GH边
大于4厘米，求GH的取值范围；
(3)在(1)、(2)的条件下，要使矩形EFGH的面积为18厘米2，
此时矩形EFGH的长和宽各是多少?
分析：自变量x表示GF的长，高h要看成是常量。列函数关
系式时，可用相似三角形性质解决。
解：(1)作AD⊥BC，D为垂足，与HG交于M。
∵GH‖BC，
∴△AHG∽△ABC，
∴。
∵ AM=AD-MD=h-GF=h-x，BC=12，
AD=h，HG=y，
∴y=

即y=-x+12(0＜x＜h)；
(2)当h=8厘米时，要使y=-x+12＞4，
解得x＜，
∴GF的取值范围是0＜GF＜(厘米)；
(3)S矩形EFGH=GH*GF=x(12-x)。
当S=18厘米2时，有
x(12-x)=18。
解得x1=2，x2=6。
此时y1=9，y2=3。
∴当矩形EFGH的面积为18厘米时，长为9厘米，宽为2厘米
或长为6厘米，宽为3厘米。
例2.在直角坐标系中，一次函数y=x+的图象与x轴、y
轴分别交于A和B两点，点C的坐标为(1，0)，点D在x轴上，且
∠BCD和∠ABD是两个相等的钝角，求图象经过B、D两点的一次
函数的解析式。
分析：本题的关键是要求得B、D两点的坐标，因为B、D都是
坐标轴上的点，故只需求得OB和OD两线段的长，这就需要结合
图形利用勾股定理和相似三角形等几何知识来解决。首先在坐
标系中找出A、B、C的位置，然后根据∠BCD与∠ABD是两个相
等的钝角，找到点P的大致位置，即要求CD的长，由已知可推
出△BCD∽△ABD，故有BD2=CD*(4+CD)，又因为BD2=BO2+OD2，
而BO和OC已知，就可求出CD的长。
解：如图(2)，由已知得点A(-3，0)，
点B(0，)，点C(1，0)。
∴AC=4。
在△BCD和△ABD中，
∵∠BCD=∠ABD，

∠BDC为公共角，
∴△BCD∽△ABD，
∴。
∴BD2=CD*AD。
在Rt△BOD中，BD2=OB2+OD2。
∴OB2+OD2=CD*AD。
即()2+(1+CD)2=CD(4+CD)。
解得CD=。
∴点D的坐标为(，0)。
又∵点B坐标为(0，)，设经过B、D两点的一次函数的解析
式为y=kx+b，
∴
解得k=-。
∴经过B、D两点的一次函数的解析式为y=-x+。
说明：准确画图对于题意的理解。思路的探求，方法的选
择。结论的判定都有重要作用，同时也体现了一定的教学能力。
例3.正比例函数y=kx与直线y=- x- 相交于点P(m，n)，
且关于x的方程x2+mx+n=0的两根为直角三角形两锐角的余弦值，
求此正比例函数的解析式。
分析：求出m，n的值，确定点P的坐标的是本题的关键。
这可以从①m，n作为P点坐标，要满足y=- x- ；②m，n应
满足方程根与系数的关系，这两个方面入手解决。
解：设直角三角形分别为A，B，
根据题意，有
∵cosB=sinA，
∴sinA+cosA=-m，① sinA*cosA=n。②
①2，得
sin2A+2sinAcosA+cos2A=m2，
∴1+2n=m2， ③
∵点P(m，n)在直线y=- x- 上，
∴- m- =n ④
把④代入③，整理得
m2+m- =0
解得
∵cosA+cosB＞0，
∴m＜0，故m2，n2不合题意，应舍去。
把m1，n1代入y=kx，得
=k*，
解得k=。
∴所求正比例函数的解析式为y=x。
注意：在求m，n的值时，应注意题中的隐含条件，由A、B都
是锐角，故cosA+cosB＞0，从而决定m＜0，所以本题只有一解。
练习：
1.已知一次函数的图象交x轴于A(-6，0)，交正比例函数
图象于B，且点B在第二象限，它的横坐标为-4，△AOB的面积
为15(平方单位)，求正比例函数和一次函数的解析式。
2.正比例函数与一次函数的图象
如图(3)，其中交点坐标为A(4，3)，
B为一次函数与y轴交点，且｜OA｜=2｜OB｜。
(1)求正比例函数与一次函数解析式；
(2)求△AOB的面积。

例如：（2000年江西省中考题）对于气温，有的地方用摄氏温度表示，有的地方用华氏温度表示，摄氏温度与华氏温度之间存在着某种函数关系.从温度计的刻度上可以看出，摄氏（℃）温度x与华氏（℉）温度y有如下的对应关系： 例1、 x（℃） … -10 0 10 20 30 … y（℉） … 14 32 50 68 86 … （1）通过①描点连线；②猜测y与x之间的函数关系；③求解；④验证等几个步骤，试确定y与x之间的函数关系式.（2）某天，南昌的最高气温是8℃ ，澳大利亚悉尼的最高气温是91℉，问这一天悉尼的最高气温比南昌的最高气温高多少摄氏度（结果保留整 数）？ 简解 （1）描点连线如图1，从而可猜测y是x 的一次函数，用待定系数法可求其解析式为y=1.8x+32. 分别将其它几对数值代入，结果等式均成立. （2）当y=91时，有91=1.8x+32，解得x≈32.8. 32.8-8≈25（℃）. 故这一天悉尼的最高气温比南昌的最高气温高约25摄氏度.