如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E．

如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E．

解：（1）证明：连接CD， ∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°。 ∴∠CAD+∠ADC=90°。 又∵∠PAC=∠PBA，∠ADC=∠PBA， ∴∠PAC=∠ADC。∴∠CAD+∠PAC=90°。 ∴PA⊥OA。 又∵AD是⊙O的直径，∴PA是⊙O的切线。 （2）由（1）知，PA⊥AD， 又∵CF⊥AD，∴CF∥PA。∴∠GCA=∠PAC。 又∵∠PAC=∠PBA，∴∠GCA=∠PBA。 又∵∠CAG=∠BAC，∴△CAG∽△BAC。 ∴ ，即AC 2 =AG?AB。 ∵AG?AB=12，∴AC 2 =12。∴AC= 。 （3）设AF=x， ∵AF：FD=1：2，∴FD=2x。∴AD=AF+FD=3x。 在Rt△ACD中，∵CF⊥AD，∴AC 2 =AF?AD，即3x 2 =12。 解得；x=2。 ∴AF=2，AD=6。∴⊙O半径为3。 在Rt△AFG中，∵AF=2，GF=1， ∴根据勾股定理得： 。 由（2）知，AG?AB=12，∴ 。 连接BD， ∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°。 在Rt△ABD中，∵sin∠ADB= ，AD=6， ∴sin∠ADB= 。 ∵∠ACE=∠ACB=∠ADB，∴sin∠ACE= 。

试题分析：（1）根据圆周角定理得出∠ACD=90°以及利用∠PAC=∠PBA得出∠CAD+∠PAC=90°进而得出答案。 （2）首先得出△CAG∽△BAC，进而得出AC 2 =AG?AB，求出AC即可； （3）先求出AF的长，根据勾股定理得 即可得出sin∠ADB= ，利用∠ACE=∠ACB=∠ADB，求出即可。