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如图,四边形ABCD中,∠B=90°AB∥CD,M为BC边上的一点,且AM平分∠BAD,DM平

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解决时间 2021-03-26 15:17
如图,四边形ABCD中,∠B=90°AB∥CD,M为BC边上的一点,且AM平分∠BAD,DM平
最佳答案
证明:
(1)
∵AB//CD(已知),
∴∠BAD+∠ADC=180°(两直线平行,同旁内角互补),
∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,
∴∠DAM=1/2∠BAD,∠ADM=1/2∠ADC,
∴∠DAM+∠ADM=1/2(∠BAD+∠ADC)=90°
∴∠AMD=90°,
即AM⊥DM.
(2)
【证法1】用角平分线上的点到角两边距离相等来证明。
过点M作ME⊥AD于E,

则∠AEM=∠B=90°,
∵AM平分∠BAD,
∴BM=EM(角平分线上的点到角两边距离相等),
∵AB//CD,
∴∠C=∠B=90°,
∴∠MED=∠C=90°,
∵DM平分∠ADC,
∴EM=CM,
∴BM=CM,
即M为BC的中点.
【证法2】用全等来证明.
延长AM、DC交于E,


∵AM平分∠BAD,
∴∠BAM=∠DAM,
∵AB//CD,
∴∠BAM=∠E,
∴∠DAM=∠E,
∴AD=ED,
∵∠AMD=90°,
∴AM=EM(三线合一),
在△AMB和△EMC中,
∠BAM=∠E,AM=EM,∠AMB=∠EMC,
∴△AMB≌△EMC(ASA),
∴BM=CM,
即M为BC的中点.
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