证明15块4×1的矩形骨牌和1块2×2的正方形骨牌不能盖住8×8的正方形

证明15块4×1的矩形骨牌和1块2×2的正方形骨牌不能盖住8×8的正方形

1、要盖住8X8的正方形，可以理解为，将其分为宽为1的8行和8列，每一行加起来要为8，每一列加起来也要为8.
2、假设横着放的4X1的骨牌有n个，那么竖着放的4X1骨牌有（15-n）个。这代表着，在单行上，最多有n个4，（15-n）个1；在单列上，最多有n个1，（15-n）个4.
3、每一行和每一列，都是由若干个1和若干个4组成而成，1和4的总和为8（或者6，因为有2X2的骨牌存在）。因为8和6都是偶数，4也是偶数。所以1的个数也必须是偶数或者0，才能保证1和4的总和也是偶数。
4、结合第2点和第3点，也就是说，要盖住8X8的正方形，在横的方向上，（15-n）要是个偶数，同时满足，在列的方向上n是个偶数。
5、偶数+偶数=偶数。（15-n）+n=15，不是偶数。所以第4点无法满足，所以不能盖住。

证明：将8×8正方形的小方格用黑、白色涂色（如图）．每一块4×1骨牌不论怎么铺设都恰好盖住两个白格，因此15块4×1的骨牌能盖住偶数个白格．一块2×2的骨牌只能盖住一个白格或三个白格，总之能盖住奇数个白格．于是15块4×1骨牌和一块2×2骨牌在图上盖住的白格是奇数个．事实上图上的白格数恰为偶数个，故不能盖住8×8的正方形．