求证a2+b2>=ab+a+b-1
答案:1 悬赏:60 手机版
解决时间 2021-06-09 03:09
- 提问者网友：听门外雪花风
- 2021-06-08 19:16
求证a2+b2>=ab+a+b-1
最佳答案
- 五星知识达人网友：人间朝暮
- 2021-06-08 20:32
法一:
令f(x)=x2+b2-bx-x-b+1，这个是二次函数，其开口向上，其判别式为
△=(-b-1)2-4(b2-b+1)=-3(b-1)2≤0，
所以对于任意实数x都有f(x)≥0，取x=a，即得所要证明的不等式。
法二:
a2+b2>=2ab.....(1)
a2+1>=2a......(2)
b2+1>=2b......(3)
三式相加：
2(a2+b2+2)>=2a+2b+2ab
所以a2+b2>=ab+a+b-1.
[解题过程]
法三:
a^2+b^2≥ab+a+b-1.
两边乘以2,配方可得:
(a-b)^2+(a-1)^2+(b-1)^2≥0
令f(x)=x2+b2-bx-x-b+1，这个是二次函数，其开口向上，其判别式为
△=(-b-1)2-4(b2-b+1)=-3(b-1)2≤0，
所以对于任意实数x都有f(x)≥0，取x=a，即得所要证明的不等式。
法二:
a2+b2>=2ab.....(1)
a2+1>=2a......(2)
b2+1>=2b......(3)
三式相加：
2(a2+b2+2)>=2a+2b+2ab
所以a2+b2>=ab+a+b-1.
[解题过程]
法三:
a^2+b^2≥ab+a+b-1.
两边乘以2,配方可得:
(a-b)^2+(a-1)^2+(b-1)^2≥0
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