gcd(a,c)=1, gcd(ab,c)=gcd(c,b)
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解决时间 2021-04-07 01:36
- 提问者网友：我的未来我做主
- 2021-04-06 04:05
gcd(a,c)=1, gcd(ab,c)=gcd(c,b)
最佳答案
- 五星知识达人网友：孤独入客枕
- 2021-04-06 05:37
设x=gcd(ab,c)，y=gcd(a,c),z=gcd(b,c) 则x|ab 且x|c 因gcd(a,b)=1 所以x|a或x|b 若x|a且x|c 则x|gcd(a,c) 即x|y 若x|b且x|c 则x|gcd(b,c) 即x|z 所以x|yz 又y|a且 y|c z|b且 z|c 由y|a且 y|c 可得到y|ab 且y|c 那么y|gcd(ab,c) 同理 z|gcd(ab,c) 所以lcm(y,z)|gcd(ab.c) 注意到y|a ,z|b 而gcd(a,b)=1 所以gcd(y,z)=1 有 lcm(y,z)=yz 注lcm最小公倍数所以yz|gcd(ab,c) 所以x|yz yz|x x=yz
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