已知f(x)是奇函数,在(0,+∞)上是减函数,证明f(x)在(-∞,0)上是减函数

已知f(x)是奇函数,在(0,+∞)上是减函数,证明f(x)在(-∞,0)上是减函数

解设x1，x2属于(-∞,0)，且x1＜x2
则f(x1)-f(x2)
=-f(-x1)-[-f(-x2)]
=f(-x2)-f(-x1)
由x1，x2属于(-∞,0)，且x1＜x2＜0
即-x1＞-x2＞0
由f(x)在(0,+∞)上是减函数
即f(-x1）＜f(-x2）
即f(-x2)-f(-x1)＞0
即f(x1)-f(x2)＞0
故f(x)在(-∞,0)上是减函数

奇函数f(x)在(-∞,0)上是减函数，且f(6)=0，则f(-6)=0

于是，当x∈(-∞,-6)∪（0，6）时，f(x)>0

当x∈(-6,0)∪（6，-∞）时，f(x)<0

(1)

当x>0时，f(x)>0,解为：0<x<6

当x<0时，f(x)<0，解为：-6<x<0

所以不等式x*f(x)＞0的解集为{x|0<x<6或-6<x<0}

(2)

当x>0时，f(5x-x²)>0,0<5x-x²<6,解为:2<x<3

当x<0时，f(5x-x²)<0,-6<5x-x²<0,解为-1<x<0

所以不等式x*f(5x-x²)＞0的解集为{x|-1<x<0或2<x<3}